Упр.257 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$f'(x)=0$$ не имеет действительных корней, если:
   1) $$f(x)=ax^2-\frac{1}{x^2}$$;
   2) $$f(x)=ax+\frac{1}{x}$$;
   3) $$f(x)=ax^3+3x^2+6x$$;
   4) $$f(x)=x^3+6x^2+ax$$.

1. $$f(x)=ax^2-\frac{1}{x^2}$$

   $$f'(x)=2ax+\frac{2}{x^3}$$

   Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

   $$2ax+\frac{2}{x^3}=0$$

   $$2ax^4+2=0$$

   $$ax^4+1=0$$

   Так как $$x^4>0$$ при всех действительных $$x\neq 0$$, то уравнение имеет действительные корни только при $$a<0$$. Чтобы корней не было, нужно

   $$a\ge 0.$$

2. $$f(x)=ax+\frac{1}{x}$$

   $$f'(x)=a-\frac{1}{x^2}$$

   Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

   $$a-\frac{1}{x^2}=0$$

   $$ax^2-1=0$$

   $$x^2=\frac{1}{a}$$

   Действительные корни существуют только при $$a>0$$. Значит, чтобы корней не было, нужно

   $$a\le 0.$$

3. $$f(x)=ax^3+3x^2+6x$$

   $$f'(x)=3ax^2+6x+6$$

   Рассмотрим квадратное уравнение

   $$3ax^2+6x+6=0.$$

   Чтобы оно не имело действительных корней, его дискриминант должен быть отрицательным:

   $$D=6^2-4\cdot 3a\cdot 6<0$$

   $$36-72a<0$$

   $$a>\frac12.$$

4. $$f(x)=x^3+6x^2+ax$$

   $$f'(x)=3x^2+12x+a$$

   Рассмотрим квадратное уравнение

   $$3x^2+12x+a=0.$$

   Чтобы оно не имело действительных корней, нужно

   $$D=12^2-4\cdot 3\cdot a<0$$

   $$144-12a<0$$

   $$a>12.$$

Ответ

1) $$[0;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;0]$$; 3) $$\left(\frac12;+\infty\right)$$; 4) $$\left(12;+\infty\right)$$.