Упр.255 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых $$f'(x)\geq 0$$ для всех действительных значений $$x$$, если $$f(x)=x^3+3x^2+ax$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^3+3x^2+ax$$

$$f'(x)=3x^2+6x+a$$

По условию требуется, чтобы

$$3x^2+6x+a \ge 0$$

для всех действительных значений $$x$$. Это квадратный трёхчлен, который неотрицателен при всех $$x$$ тогда и только тогда, когда его дискриминант не положителен:

$$D=6^2-4\cdot 3 \cdot a \le 0$$

$$36-12a \le 0$$

$$12a \ge 36$$

$$a \ge 3$$

Ответ

$$a \in [3;+\infty)$$