Упр.254 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти значения $$x$$, при которых значение производной функции $$f(x)$$ равно нулю; положительно; отрицательно, если:

1. $$f(x)=2^x+2^{-x}$$;
2. $$f(x)=3^{2x}-2^x\ln 3$$;
3. $$f(x)=x+\ln 2x$$;
4. $$f(x)=x+\ln(2x+1)$$;
5. $$f(x)=6x-x\sqrt{x}$$;
6. $$f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}-3x$$.

1. $$f(x)=2^x+2^{-x}$$

   $$f'(x)=2^x\ln 2-2^{-x}\ln 2=\ln 2\,(2^x-2^{-x})$$

   Так как $$\ln 2>0$$, знак производной определяется выражением $$2^x-2^{-x}$$.

   $$2^x-2^{-x}=0 \;\Longleftrightarrow\; 2^x=2^{-x} \;\Longleftrightarrow\; x=0$$

   При $$x>0$$ имеем $$2^x>2^{-x}$$, значит $$f'(x)>0$$. При $$x<0$$ — $$f'(x)<0$$.

2. $$f(x)=3^{2x}-2x\ln 3$$

   $$f'(x)=2\cdot 3^{2x}\ln 3-2\ln 3=2\ln 3\,(3^{2x}-1)$$

   Так как $$2\ln 3>0$$, то

   $$3^{2x}-1=0 \;\Longleftrightarrow\; 3^{2x}=1 \;\Longleftrightarrow\; x=0$$

   При $$x>0$$ производная положительна, при $$x<0$$ — отрицательна.

3. $$f(x)=x+\ln 2x,\qquad x>0$$

   $$f'(x)=1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$$

   При $$x>0$$ числитель и знаменатель положительны, значит $$f'(x)>0$$ на всей области определения.

4. $$f(x)=x+\ln(2x+1),\qquad x>-\frac12$$

   $$f'(x)=1+\frac{2}{2x+1}=\frac{2x+3}{2x+1}$$

   На области определения $$2x+1>0$$, а значит знак $$f'(x)$$ определяется числителем $$2x+3$$.

   $$2x+3=0 \;\Longleftrightarrow\; x=-\frac32$$

   Но $$x=-\frac32$$ не принадлежит области определения. Следовательно, при $$x>-\frac12$$ имеем $$f'(x)>0$$.

5. $$f(x)=6x-x\sqrt{x},\qquad x\ge 0$$

   $$f'(x)=6-\frac{3}{2}\sqrt{x}$$

   Найдём, когда $$f'(x)=0$$:

   $$6-\frac{3}{2}\sqrt{x}=0 \;\Longleftrightarrow\; \sqrt{x}=4 \;\Longleftrightarrow\; x=16$$

   При $$0<x<16$$ производная положительна, при $$x>16$$ — отрицательна.

6. $$f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}-3x,\qquad x\ge -1$$

   $$f'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x+1}-3$$

   $$\frac{3}{2}\sqrt{x+1}-3=0 \;\Longleftrightarrow\; \sqrt{x+1}=2 \;\Longleftrightarrow\; x=3$$

   При $$x>3$$ производная положительна, при $$-1<x<3$$ — отрицательна.

Ответ

1) $$f'(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>0$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$.
2) $$f'(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>0$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$.
3) $$f'(x)>0$$ при $$x>0$$.
4) $$f'(x)>0$$ при $$x>-\frac12$$.
5) $$f'(x)=0$$ при $$x=16$$; $$f'(x)>0$$ при $$0<x<16$$; $$f'(x)<0$$ при $$x>16$$.
6) $$f'(x)=0$$ при $$x=3$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>3$$; $$f'(x)<0$$ при $$-1<x<3$$.