Упр.251 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Вычислить предел функции: 1) $$\lim_{x\to 0}\frac{2+x-x^3}{1+3x+x^2}$$; 2) $$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^3+3x^2+1}{14x^3-x^2-5}$$.

1) Найдём предел при $$x \to 0$$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{2+x-x^3}{1+3x+x^2} = \frac{2+0-0}{1+0+0} = \frac{2}{1} = 2$$

2) Найдём предел при $$x \to \infty$$. Разделим числитель и знаменатель на $$x^3$$:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{7x^3+3x^2+1}{14x^3-x^2-5} = \lim_{x \to \infty}\frac{7+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}}{14-\frac{1}{x}-\frac{5}{x^3}}$$

При $$x \to \infty$$ дроби с $$x$$ в знаменателе стремятся к нулю, поэтому

$$\lim_{x \to \infty}\frac{7+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}}{14-\frac{1}{x}-\frac{5}{x^3}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$\frac{1}{2}$$.