Упр.25 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. График функции $$y=f(x)$$, $$x\in\mathbb{R}$$, симметричен относительно точки $$A(a;b)$$ и прямой $$x=c$$ (разумеется, $$c\ne a$$). Доказать, что функция $$y=f(x)$$ является периодической, и найти её период.

Так как график функции $$y=f(x)$$ симметричен относительно точки $$A(a;b)$$, то для любого $$x$$ выполняется

$$f(x)=2b-f(2a-x).$$

А из симметрии относительно прямой $$x=c$$ получаем

$$f(x)=f(2c-x).$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$c>a$$, то положим

   $$T=4(c-a).$$

   Тогда

   $$f(x+T)=f\bigl(x+4(c-a)\bigr)=f(4c-4a+x).$$

   Используя симметрию относительно точки $$A(a;b)$$, получаем

   $$f(4c-4a+x)=2b-f\bigl(2a-(4c-4a+x)\bigr)=2b-f(6a-4c-x).$$

   Далее, применяя симметрию относительно прямой $$x=c$$, имеем

   $$f(6a-4c-x)=f\bigl(2c-(6a-4c-x)\bigr)=f(6c-6a+x),$$

   и в итоге снова получаем исходное значение функции, то есть $$f(x+T)=f(x)$$.

2. Если $$a>c$$, то аналогично берём

   $$T=4(a-c).$$

   Тогда также выполняется равенство $$f(x+T)=f(x)$$.

Следовательно, функция периодическая, а её период равен

$$T=4|a-c|.$$

Ответ

$$4|a-c|$$