Упр.249 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) f(x) = система
log2(x-1) при x < =3, (x-5) при x > 3;
2) f(x) = система
корень x+3 при x > 3,
x+3 при -3 < =x < =3, (x+3) при x < -3.

1. $$f(x)=\begin{cases}\log_2(x-1), & x\le 3,\\ (x-5)^2, & x>3.\end{cases}$$

   Для первой ветви нужно $$x-1>0,$$ то есть $$x>1.$$ Значит, она определена при $$1<x\le 3.$$

   Вторая ветвь $$y=(x-5)^2$$ определена при всех $$x>3.$$

   В точке $$x=3$$ имеем:

   $$\log_2(3-1)=\log_2 2=1,$$

   а справа

   $$\lim_{x\to 3+}(x-5)^2=(3-5)^2=4.$$

   Так как значения слева и справа различны, в точке $$x=3$$ функция разрывна. На остальных промежутках каждая ветвь непрерывна.

   Следовательно, функция непрерывна на промежутках $$ (1;3) $$ и $$ (3;+\infty). $$

2. $$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+3}, & x>3,\\ x+3, & -3\le x\le 3,\\ (x+3)^2, & x<-3.\end{cases}$$

   Каждая из ветвей непрерывна на своём промежутке определения.

   Проверим точки склейки.

   При $$x=-3$$:

   $$\lim_{x\to -3-}(x+3)^2=0,\qquad f(-3)=-3+3=0,$$

   значит, в точке $$x=-3$$ разрыва нет.

   При $$x=3$$:

   $$f(3)=3+3=6,$$

   а справа

   $$\lim_{x\to 3+}\sqrt{x+3}=\sqrt6\ne 6.$$

   Следовательно, в точке $$x=3$$ функция разрывна.

   Итак, функция непрерывна на промежутках $$(-\infty;3)$$ и $$ (3;+\infty). $$

Ответ

1) $$ (1;3)\cup(3;+\infty) $$

2) $$ (-\infty;3)\cup(3;+\infty) $$