Упр.249 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Построить график и указать промежутки непрерывности функции:
$$f(x)=\begin{cases}\log_2(x-1),&x\leqslant 3,\\x-5,&x>3.\end{cases}$$
$$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+3},&x>3,\\x+3,&-3\leqslant x\leqslant 3,\\x+3,&x<-3.\end{cases}$$
$$f(x)=\begin{cases}\log_2(x-1), & x\le 3,\\ (x-5)^2, & x>3.\end{cases}$$
Для первой ветви нужно $$x-1>0,$$ то есть $$x>1.$$ Значит, она определена при $$1<x\le 3.$$
Вторая ветвь $$y=(x-5)^2$$ определена при всех $$x>3.$$
В точке $$x=3$$ имеем:
$$\log_2(3-1)=\log_2 2=1,$$
а справа
$$\lim_{x\to 3+}(x-5)^2=(3-5)^2=4.$$
Так как значения слева и справа различны, в точке $$x=3$$ функция разрывна. На остальных промежутках каждая ветвь непрерывна.
Следовательно, функция непрерывна на промежутках $$(1;3)$$ и $$(3;+\infty).$$
$$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+3}, & x>3,\\ x+3, & -3\le x\le 3,\\ (x+3)^2, & x<-3.\end{cases}$$
Каждая из ветвей непрерывна на своём промежутке определения.
Проверим точки склейки.
При $$x=-3$$:
$$\lim_{x\to -3-}(x+3)^2=0,\qquad f(-3)=-3+3=0,$$
значит, в точке $$x=-3$$ разрыва нет.
При $$x=3$$:
$$f(3)=3+3=6,$$
а справа
$$\lim_{x\to 3+}\sqrt{x+3}=\sqrt6\ne 6.$$
Следовательно, в точке $$x=3$$ функция разрывна.
Итак, функция непрерывна на промежутках $$(-\infty;3)$$ и $$(3;+\infty).$$
Ответ
1) $$(1;3)\cup(3;+\infty)$$
2) $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$
