Упр.246 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

246 1) sinxcosx+x;
2) (x3+1)cos2x;
3) (x+2) корень 3 степени x2;
4) корень 3 степени x-1 (x4-1).

Подробный ответ

$$y=\sin x\cos x+x$$
Применим правило произведения:
$$y’=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’+(x)’$$
$$y’=\cos x\cdot \cos x+\sin x\cdot(-\sin x)+1$$
$$y’=\cos^2 x-\sin^2 x+1=\cos 2x+1$$
$$y=(x^3+1)\cos 2x$$
По правилу произведения:
$$y’=(x^3+1)’\cos 2x+(x^3+1)(\cos 2x)’$$
$$y’=3x^2\cos 2x-2(x^3+1)\sin 2x$$
$$y=(x+2)\sqrt[3]{x^2}$$
Применим правило произведения:
$$y’=(x+2)’\sqrt[3]{x^2}+(x+2)\left(\sqrt[3]{x^2}\right)’$$
$$y’=\sqrt[3]{x^2}+(x+2)\cdot \frac{2}{3}x^{-1/3}$$
$$y’=\sqrt[3]{x^2}+\frac{2(x+2)}{3\sqrt[3]{x}}$$
$$y’=\frac{3x+2x+4}{3\sqrt[3]{x}}=\frac{5x+4}{3\sqrt[3]{x}}$$
$$y=\sqrt[3]{x-1}\,(x^4-1)$$
По правилу произведения:
$$y’=\left(\sqrt[3]{x-1}\right)'(x^4-1)+\sqrt[3]{x-1}\,(x^4-1)’$$
$$y’=\frac{1}{3}(x-1)^{-2/3}(x^4-1)+4x^3\sqrt[3]{x-1}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$y’=\frac{x^4-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}+\frac{12x^3\sqrt[3]{x-1}\cdot \sqrt[3]{(x-1)^2}}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$$
Так как $$\sqrt[3]{x-1}\cdot \sqrt[3]{(x-1)^2}=x-1,$$ получаем:
$$y’=\frac{x^4-1+12x^3(x-1)}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}=\frac{x^4+12x^4-12x^3-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$$
$$y’=\frac{13x^4-12x^3-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$$