Упр.246 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

246. Найти производную функции:
     
     1) $$\sin x\cos x+x$$;
     
     2) $$\left(x^3+1\right)\cos 2x$$;
     
     3) $$\left(x+2\right)\sqrt[3]{x^2}$$;
     
     4) $$\sqrt[3]{x-1}\left(x^4-1\right)$$.

1. $$y=\sin x\cos x+x$$

   Применим правило произведения:

   $$y’=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’+(x)’$$

   $$y’=\cos x\cdot \cos x+\sin x\cdot(-\sin x)+1$$

   $$y’=\cos^2 x-\sin^2 x+1=\cos 2x+1$$

2. $$y=(x^3+1)\cos 2x$$

   По правилу произведения:

   $$y’=(x^3+1)’\cos 2x+(x^3+1)(\cos 2x)’$$

   $$y’=3x^2\cos 2x-2(x^3+1)\sin 2x$$

3. $$y=(x+2)\sqrt[3]{x^2}$$

   Применим правило произведения:

   $$y’=(x+2)’\sqrt[3]{x^2}+(x+2)\left(\sqrt[3]{x^2}\right)’$$

   $$y’=\sqrt[3]{x^2}+(x+2)\cdot \frac{2}{3}x^{-1/3}$$

   $$y’=\sqrt[3]{x^2}+\frac{2(x+2)}{3\sqrt[3]{x}}$$

   $$y’=\frac{3x+2x+4}{3\sqrt[3]{x}}=\frac{5x+4}{3\sqrt[3]{x}}$$

4. $$y=\sqrt[3]{x-1}\,(x^4-1)$$

   По правилу произведения:

   $$y’=\left(\sqrt[3]{x-1}\right)'(x^4-1)+\sqrt[3]{x-1}\,(x^4-1)’$$

   $$y’=\frac{1}{3}(x-1)^{-2/3}(x^4-1)+4x^3\sqrt[3]{x-1}$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$y’=\frac{x^4-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}+\frac{12x^3\sqrt[3]{x-1}\cdot \sqrt[3]{(x-1)^2}}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$$

   Так как $$\sqrt[3]{x-1}\cdot \sqrt[3]{(x-1)^2}=x-1,$$ получаем:

   $$y’=\frac{x^4-1+12x^3(x-1)}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}=\frac{x^4+12x^4-12x^3-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$$

   $$y’=\frac{13x^4-12x^3-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$$

Ответ

1) $$y’=\cos 2x+1$$

2) $$y’=3x^2\cos 2x-2(x^3+1)\sin 2x$$

3) $$y’=\frac{5x+4}{3\sqrt[3]{x}}$$

4) $$y’=\frac{13x^4-12x^3-1}{3\sqrt[3]{(x-1)^2}}$$