Упр.244 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) у = х2 — 2х, х0 = 3;
2) у = х3 + 3х, х0 = 3;
3) у = sinx, х0 = пи/6;
4) у = cos х, х0 = пи/3.

Подробный ответ

$$y=x^2-2x,\quad x_0=3$$
Найдём значение функции и производной в точке $$x_0$$:
$$y(3)=3^2-2\cdot 3=9-6=3$$
$$y'(x)=2x-2,\quad y'(3)=2\cdot 3-2=4$$
Уравнение касательной:
$$y=3+4(x-3)=4x-9$$
$$y=x^3+3x,\quad x_0=3$$
$$y(3)=3^3+3\cdot 3=27+9=36$$
$$y'(x)=3x^2+3,\quad y'(3)=3\cdot 3^2+3=27+3=30$$
Уравнение касательной:
$$y=36+30(x-3)=30x-54$$
$$y=\sin x,\quad x_0=\frac{\pi}{6}$$
$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$$
$$y'(x)=\cos x,\quad y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$$
Уравнение касательной:
$$y=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12-\frac{\pi\sqrt3}{12}$$
$$y=\cos x,\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$
$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$$
$$y'(x)=-\sin x,\quad y’\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}$$
Уравнение касательной:
$$y=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12+\frac{\pi\sqrt3}{6}$$