Упр.244 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x_0$$, если: 1) $$y=x^2-2x$$, $$x_0=3$$; 2) $$y=x^3+3x$$, $$x_0=3$$; 3) $$y=\sin x$$, $$x_0=\frac{\pi}{6}$$; 4) $$y=\cos x$$, $$x_0=\frac{\pi}{3}$$.

1. $$y=x^2-2x,\quad x_0=3$$

   Найдём значение функции и производной в точке $$x_0$$:

   $$y(3)=3^2-2\cdot 3=9-6=3$$

   $$y'(x)=2x-2,\quad y'(3)=2\cdot 3-2=4$$

   Уравнение касательной:

   $$y=3+4(x-3)=4x-9$$

2. $$y=x^3+3x,\quad x_0=3$$

   $$y(3)=3^3+3\cdot 3=27+9=36$$

   $$y'(x)=3x^2+3,\quad y'(3)=3\cdot 3^2+3=27+3=30$$

   Уравнение касательной:

   $$y=36+30(x-3)=30x-54$$

3. $$y=\sin x,\quad x_0=\frac{\pi}{6}$$

   $$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$$

   $$y'(x)=\cos x,\quad y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$$

   Уравнение касательной:

   $$y=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12-\frac{\pi\sqrt3}{12}$$

4. $$y=\cos x,\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$

   $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$$

   $$y'(x)=-\sin x,\quad y’\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}$$

   Уравнение касательной:

   $$y=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12+\frac{\pi\sqrt3}{6}$$

Ответ

1) $$y=4x-9$$; 2) $$y=30x-54$$; 3) $$y=\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12-\frac{\pi\sqrt3}{12}$$; 4) $$y=-\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12+\frac{\pi\sqrt3}{6}$$.