Упр.242 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) f(х) = -3х3 + 2х2 + 4;
2) f(x) = (х + З)3(х — 4)2;
3) f(x)=3x+1/x-2;
4) f(x) = x2 +2/x.

1. $$f(x)=-3x^3+2x^2+4$$

   $$f'(x)=-9x^2+4x=-x(9x-4)$$

   Найдём, где $$f'(x)=0$$:

   $$-x(9x-4)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=\frac49$$

   Исследуем знак производной:

   $$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<\frac49$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>\frac49$$

2. $$f(x)=(x+3)^3(x-4)^2$$

   $$f'(x)=3(x+3)^2(x-4)^2+2(x+3)^3(x-4)$$

   $$f'(x)=(x+3)^2(x-4)\bigl(3(x-4)+2(x+3)\bigr)$$

   $$f'(x)=(x+3)^2(x-4)(5x-6)$$

   Найдём нули производной:

   $$f'(x)=0 \Rightarrow x=-3,\; x=\frac65,\; x=4$$

   Так как $$ (x+3)^2 \ge 0 $$, знак производной определяется множителем $$ (x-4)(5x-6) $$:

   $$f'(x)>0 \text{ при } x<-3,\; -3<x<\frac65,\; x>4$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } \frac65<x<4$$

3. $$f(x)=\frac{3x+1}{x-2}$$

   $$f'(x)=\frac{3(x-2)-(3x+1)}{(x-2)^2}=\frac{-7}{(x-2)^2}$$

   Область определения: $$x\ne 2$$.

   Так как $$ (x-2)^2>0 $$ при $$x\ne 2$$, то

   $$f'(x)<0 \text{ при } x\ne 2$$

   Значений, при которых $$f'(x)=0$$ или $$f'(x)>0$$, нет.

4. $$f(x)=x^2+\frac{2}{x}$$

   $$f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}=\frac{2(x^3-1)}{x^2}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$.

   Найдём нули производной:

   $$f'(x)=0 \Rightarrow x^3-1=0 \Rightarrow x=1$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак $$f'(x)$$ определяется числителем $$x^3-1$$:

   $$f'(x)>0 \text{ при } x>1$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } x<1,\; x\ne 0$$

Ответ

1) $$f'(x)=0$$ при $$x=0,\; \frac49$$; $$f'(x)>0$$ при $$0<x<\frac49$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<0,\; x>\frac49$$.
2) $$f'(x)=0$$ при $$x=-3,\; \frac65,\; 4$$; $$f'(x)>0$$ при $$x<-3,\; -3<x<\frac65,\; x>4$$; $$f'(x)<0$$ при $$\frac65<x<4$$.
3) $$f'(x)<0$$ при $$x\ne 2$$; $$f'(x)=0$$ и $$f'(x)>0$$ — нет.
4) $$f'(x)=0$$ при $$x=1$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>1$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<1,\; x\ne 0$$.