Упр.241 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$x^2+1/x^2+2$$
2. $$x^2/x+1$$
3. $$\sin x/x+1$$
4. $$\ln x/1-x$$

1. $$y=\frac{x^3+1}{x^2+2}$$

   По формуле производной частного:

   $$y’=\frac{(x^3+1)'(x^2+2)-(x^3+1)(x^2+2)’}{(x^2+2)^2}$$

   $$y’=\frac{3x^2(x^2+2)-2x(x^3+1)}{(x^2+2)^2}$$

   $$y’=\frac{3x^4+6x^2-2x^4-2x}{(x^2+2)^2} =\frac{x^4+6x^2-2x}{(x^2+2)^2} =\frac{x(x^3+6x-2)}{(x^2+2)^2}$$

2. $$y=\frac{x^2}{x^3+1}$$

   $$y’=\frac{(x^2)'(x^3+1)-x^2(x^3+1)’}{(x^3+1)^2}$$

   $$y’=\frac{2x(x^3+1)-x^2\cdot 3x^2}{(x^3+1)^2} =\frac{2x^4+2x-3x^4}{(x^3+1)^2} =\frac{2x-x^4}{(x^3+1)^2} =\frac{x(2-x^3)}{(x^3+1)^2}$$

3. $$y=\frac{\sin x}{x+1}$$

   $$y’=\frac{(\sin x)'(x+1)-\sin x\cdot (x+1)’}{(x+1)^2}$$

   $$y’=\frac{\cos x\,(x+1)-\sin x}{(x+1)^2}$$

4. $$y=\frac{\ln x}{1-x}$$

   $$y’=\frac{(\ln x)'(1-x)-\ln x\cdot (1-x)’}{(1-x)^2}$$

   $$y’=\frac{\frac{1}{x}(1-x)-\ln x\cdot(-1)}{(1-x)^2} =\frac{\frac{1-x}{x}+\ln x}{(1-x)^2} =\frac{1-x+x\ln x}{x(1-x)^2}$$

Ответ

1) $$y’=\frac{x(x^3+6x-2)}{(x^2+2)^2}$$;
2) $$y’=\frac{x(2-x^3)}{(x^3+1)^2}$$;
3) $$y’=\frac{\cos x\,(x+1)-\sin x}{(x+1)^2}$$;
4) $$y’=\frac{1-x+x\ln x}{x(1-x)^2}$$.