Упр.24 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 24 График функции y = f(x), x принадлежит R, симметричен относительно каждой из прямых х = а, х = b, где а =/ b. Доказать, что у = f(x) является периодической, и найти её период. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 24 118

Подробный ответ

Так как график функции симметричен относительно прямой $$x=a,$$ то для любого $$x$$ выполняется

$$f(x)=f(2a-x).$$

Аналогично, из симметрии относительно прямой $$x=b$$ получаем

$$f(x)=f(2b-x).$$

Пусть $$T=2|b-a|.$$ Докажем, что это период функции.

Если $$b>a,$$ то $$T=2(b-a).$$ Тогда

$$ f(x+T)=f\bigl(x+2(b-a)\bigr)=f(2b-x)=f(x). $$

Если $$a>b,$$ то $$T=2(a-b).$$ Тогда

$$ f(x+T)=f\bigl(x+2(a-b)\bigr)=f(2a-x)=f(x). $$

Следовательно, функция периодическая, а её период равен $$2|b-a|.$$