Упр.236 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Построить график функции $$y=f(x)$$ и выяснить, является ли эта функция непрерывной на всей числовой прямой:

1. $$f(x)=\begin{cases}3x-4, & x\ne 3,\\2, & x=3;\end{cases}$$
2. $$f(x)=\begin{cases}5-2x, & x\ne 1,\\-1, & x=1;\end{cases}$$
3. $$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}, & x\ge 0,\\x, & x<0;\end{cases}$$
4. $$f(x)=\begin{cases}|x-1|, & x<-1,\\x^2, & x\ge -1.\end{cases}$$

1. $$f(x)=\begin{cases}3x-4, & x\ne 3,\\ 2, & x=3.\end{cases}$$

   При $$x\ne 3$$ график — прямая $$y=3x-4$$. В точке $$x=3$$ на этой прямой было бы

   $$y=3\cdot 3-4=5,$$

   но по условию $$f(3)=2$$. Значит, на графике нужно поставить выколотую точку $$\left(3;5\right)$$ и закрашенную точку $$\left(3;2\right)$$.

   Функция не является непрерывной на всей числовой прямой, так как в точке $$x=3$$ есть разрыв.

2. $$f(x)=\begin{cases}5-2x, & x\ne 1,\\ -1, & x=1.\end{cases}$$

   При $$x\ne 1$$ график — прямая $$y=5-2x$$. В точке $$x=1$$

   $$y=5-2\cdot 1=3,$$

   но задано $$f(1)=-1$$. Поэтому на графике отмечаем выколотую точку $$\left(1;3\right)$$ и закрашенную точку $$\left(1;-1\right)$$.

   Функция не непрерывна на всей числовой прямой.

3. $$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}, & x\ge 0,\\ x, & x<0.\end{cases}$$

   При $$x<0$$ график — прямая $$y=x$$, при $$x\ge 0$$ — график $$y=\sqrt{x}$$. В точке $$x=0$$ обе части дают одно и то же значение:

   $$\sqrt{0}=0,\qquad 0=0.$$

   Значит, графики соединяются без разрыва, и функция непрерывна на всей числовой прямой.

4. $$f(x)=\begin{cases}|x-1|, & x<-1,\\ x^2, & x\ge -1.\end{cases}$$

   При $$x<-1$$ имеем $$x-1<0$$, поэтому

   $$|x-1|=-(x-1)=1-x.$$

   В точке $$x=-1$$ левая часть даёт

   $$|{-1}-1|=2,$$

   а правая часть:

   $$(-1)^2=1.$$

   Так как значения слева и справа в точке $$x=-1$$ не совпадают, функция имеет разрыв и не является непрерывной на всей числовой прямой.

Ответ

1) не является непрерывной; 2) не является непрерывной; 3) является непрерывной; 4) не является непрерывной.