Упр.234 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 234. Найти точки, в которых касательные к кривым f(х) = х3 — х — 1 и g(x) = 3х2 — 4х +1 параллельны. Написать уравнения этих касательных.

Найдём производные функций:

$$f(x)=x^3-x-1,\qquad f'(x)=3x^2-1$$

$$g(x)=3x^2-4x+1,\qquad g'(x)=6x-4$$

Касательные параллельны, если их угловые коэффициенты равны:

$$3x^2-1=6x-4$$

$$3x^2-6x+3=0$$

$$x^2-2x+1=0$$

$$\left(x-1\right)^2=0$$

$$x=1$$

Найдём точки касания и уравнения касательных.

Для функции $$f(x)$$:

$$f(1)=1-1-1=-1,\qquad f'(1)=3\cdot 1^2-1=2$$

Уравнение касательной:

$$y=-1+2(x-1)=2x-3$$

Для функции $$g(x)$$:

$$g(1)=3-4+1=0,\qquad g'(1)=6\cdot 1-4=2$$

Уравнение касательной:

$$y=0+2(x-1)=2x-2$$

Ответ

Точка, в которой касательные параллельны: $$x=1$$.

Точки касания: $$\left(1,-1\right)$$ и $$\left(1,0\right)$$.

Уравнения касательных: $$y=2x-3$$ и $$y=2x-2$$.