Упр.233 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 233. В каких точках касательная к графику функции y=x+2/x-2 образует с осью Ох угол, равный —пи/4? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 233 118

Угол наклона касательной к оси $$Ox$$ равен $$-\frac{\pi}{4}$$, значит её угловой коэффициент

$$k=\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Для функции

$$y=\frac{x+2}{x-2}$$

найдём производную:

$$ y'(x)=\frac{(x-2)\cdot 1-(x+2)\cdot 1}{(x-2)^2} =\frac{x-2-x-2}{(x-2)^2} =-\frac{4}{(x-2)^2}. $$

Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной:

$$ -\frac{4}{(x-2)^2}=-1. $$

Тогда

$$ (x-2)^2=4, $$

$$ x-2=\pm 2, $$

откуда

$$ x=0 \quad \text{или} \quad x=4. $$

Найдём соответствующие значения функции:

$$ y(0)=\frac{0+2}{0-2}=-1, $$

$$ y(4)=\frac{4+2}{4-2}=3. $$

Следовательно, касательная образует с осью $$Ox$$ угол $$-\frac{\pi}{4}$$ в точках $$ (0,-1) $$ и $$ (4,3) $$.

Ответ

$$(0,-1),\ (4,3).$$