Упр.233 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

В каких точках касательная к графику функции $$y=x+\frac{2}{x}-2$$ образует с осью $$Ox$$ угол, равный $$-\frac{\pi}{4}$$?

Угол наклона касательной к оси $$Ox$$ равен $$-\frac{\pi}{4}$$, значит её угловой коэффициент

$$k=\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Для функции

$$y=\frac{x+2}{x-2}$$

найдём производную:

$$y'(x)=\frac{(x-2)\cdot 1-(x+2)\cdot 1}{(x-2)^2} =\frac{x-2-x-2}{(x-2)^2} =-\frac{4}{(x-2)^2}.$$

Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной:

$$-\frac{4}{(x-2)^2}=-1.$$

Тогда

$$(x-2)^2=4,$$

$$x-2=\pm 2,$$

откуда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=4.$$

Найдём соответствующие значения функции:

$$y(0)=\frac{0+2}{0-2}=-1,$$

$$y(4)=\frac{4+2}{4-2}=3.$$

Следовательно, касательная образует с осью $$Ox$$ угол $$-\frac{\pi}{4}$$ в точках $$(0,-1)$$ и $$(4,3)$$.

Ответ

$$(0,-1),\ (4,3).$$