Упр.230 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке):

$$y=8-x$$ и $$y=4\sqrt{x}+4$$;
$$y=\frac{1}{2}(1+x)^2$$ и $$y=\frac{1}{2}(1-x)^2$$;
$$y=\ln(1+x)$$ и $$y=\ln(1-x)$$;
$$y=e^x$$ и $$y=e^{-x}$$.

Подробный ответ

$$y=8-x,\qquad y=4\sqrt{x+4}.$$
Найдём точку пересечения:
$$8-x=4\sqrt{x+4}$$
$$64-16x+x^2=16(x+4)$$
$$x^2-32x=0$$
$$x(x-32)=0$$
С учётом области определения $$x+4\ge 0$$ и уравнения получаем подходящую точку $$x=0$$, тогда $$y=8.$$
Найдём угловые коэффициенты касательных:
$$y_1’=-1,\qquad y_2’=\frac{4}{2\sqrt{x+4}}=\frac{2}{\sqrt{x+4}},\qquad y_2′(0)=1.$$
Тогда $$\alpha_1=-\frac{\pi}{4},\qquad \alpha_2=\frac{\pi}{4}.$$
Угол между кривыми:
$$\varphi=\alpha_2-\alpha_1=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}.$$
$$y=\frac12(1+x)^2,\qquad y=\frac12(1-x)^2.$$
Точка пересечения:
$$\frac12(1+x)^2=\frac12(1-x)^2$$
$$(1+x)^2=(1-x)^2$$
$$1+2x+x^2=1-2x+x^2$$
$$4x=0,\qquad x=0.$$
Производные:
$$y_1’=\frac12\cdot 2(1+x)=1+x,\qquad y_1′(0)=1,$$
$$y_2’=\frac12\cdot 2(1-x)\cdot(-1)=x-1,\qquad y_2′(0)=-1.$$
Значит,
$$\varphi=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}.$$
$$y=\ln(1+x),\qquad y=\ln(1-x).$$
Точка пересечения:
$$\ln(1+x)=\ln(1-x)$$
$$1+x=1-x,\qquad 2x=0,\qquad x=0.$$
Производные:
$$y_1’=\frac{1}{1+x},\qquad y_1′(0)=1,$$
$$y_2’=-\frac{1}{1-x},\qquad y_2′(0)=-1.$$
Следовательно,
$$\varphi=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}.$$
$$y=e^x,\qquad y=e^{-x}.$$
Точка пересечения:
$$e^x=e^{-x}$$
$$x=-x,\qquad 2x=0,\qquad x=0.$$
Производные:
$$y_1’=e^x,\qquad y_1′(0)=1,$$
$$y_2’=-e^{-x},\qquad y_2′(0)=-1.$$
Тогда
$$\varphi=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}.$$