Упр.23 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что функция периодическая, и найти её наименьший положительный период: 1) $$y=\sin(\cos x)$$; 2) $$y=\cos(\sin x)$$.

1. $$y=\sin(\cos x)$$

   Проверим периодичность:

   $$y(x+T)=\sin(\cos(x+T))=\sin(\cos x)$$

   Нужно, чтобы

   $$\cos(x+T)=\cos x$$

   Это выполняется при $$T=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$. Наименьший положительный период функции $$\cos x$$ равен $$2\pi$$, значит и для функции $$\sin(\cos x)$$ наименьший положительный период равен $$2\pi$$.

2. $$y=\cos(\sin x)$$

   Проверим периодичность:

   $$y(x+T)=\cos(\sin(x+T))=\cos(\sin x)$$

   Нужно, чтобы

   $$\sin(x+T)=\sin x$$

   Это выполняется при $$T=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$. Но также

   $$\sin(x+\pi)=-\sin x,$$

   поэтому

   $$\cos(\sin(x+\pi))=\cos(-\sin x)=\cos(\sin x).$$

   Значит, функция имеет период $$\pi$$. Меньшего положительного периода нет, так как при $$0<T<\pi$$ равенство $$\sin(x+T)=\pm \sin x$$ для всех $$x$$ невозможно.

Ответ

1) $$2\pi$$; 2) $$\pi$$.