Упр.229 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти угол между осью $$Oy$$ и касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=0$$, если:
   1) $$f(x)=x^2+e^{-x}$$;
   2) $$f(x)=\cos x$$;
   3) $$f(x)=\sqrt{x+1}+e^{x/2}$$;
   4) $$f(x)=x^2+3x+\frac{2}{2x+1}$$;
   5) $$f(x)=\ln(2x+1)+\frac{3}{x+1}$$;
   6) $$f(x)=\frac{2}{3}(x+3)\sqrt{x+3}$$.

1. $$f(x)=x^2+e^{-x}, \quad x_0=0$$

   $$f'(x)=2x-e^{-x}$$

   $$f'(0)=0-1=-1$$

   Угол наклона касательной к оси $$Ox$$: $$\alpha=\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$$.

   Искомый угол между осью $$Oy$$ и касательной:

   $$\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$$

2. $$f(x)=\cos x, \quad x_0=0$$

   $$f'(x)=-\sin x$$

   $$f'(0)=-\sin 0=0$$

   $$\alpha=\arctg 0=0$$

   $$\beta=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}$$

3. $$f(x)=\sqrt{x+1}+e^{x/2}, \quad x_0=0$$

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2}e^{x/2}$$

   $$f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{2}e^0=1$$

   $$\alpha=\arctg 1=\frac{\pi}{4}$$

   $$\beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$$

4. $$f(x)=x^2+3x+\frac{2}{2x+1}, \quad x_0=0$$

   $$f'(x)=2x+3-\frac{4}{(2x+1)^2}$$

   $$f'(0)=0+3-4=-1$$

   $$\alpha=\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$$

   $$\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$$

5. $$f(x)=\ln(2x+1)+\frac{3}{x+1}, \quad x_0=0$$

   $$f'(x)=\frac{2}{2x+1}-\frac{3}{(x+1)^2}$$

   $$f'(0)=2-3=-1$$

   $$\alpha=\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$$

   $$\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha=\frac{3\pi}{4}$$

6. $$f(x)=\frac{2}{3}(x+3)\sqrt{x+3}, \quad x_0=0$$

   $$f(x)=\frac{2}{3}(x+3)^{3/2}$$

   $$f'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}(x+3)^{1/2}=\sqrt{x+3}$$

   $$f'(0)=\sqrt{3}$$

   $$\alpha=\arctg\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$$

   $$\beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}$$

Ответ

1) $$\frac{3\pi}{4}$$; 2) $$\frac{\pi}{2}$$; 3) $$\frac{\pi}{4}$$; 4) $$\frac{3\pi}{4}$$; 5) $$\frac{3\pi}{4}$$; 6) $$\frac{\pi}{6}$$.