Упр.227 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Написать уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$, если:
1) $$f(x)=x^3+x^2+1$$, $$x_0=1$$;
2) $$f(x)=6x-3x^2$$, $$x_0=2$$;
4) $$f(x)=\frac{1}{x^2}$$, $$x_0=-2$$;
5) $$f(x)=\cos x$$, $$x_0=\frac{\pi}{3}$$;
6) $$f(x)=e^x$$, $$x_0=0$$;
7) $$f(x)=\ln x$$, $$x_0=1$$;
8) $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$x_0=1$$.
Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$ имеет вид:
$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$
$$f(x)=x^3+x^2+1,\quad x_0=1$$
$$f(1)=1+1+1=3,$$
$$f'(x)=3x^2+2x,\quad f'(1)=3+2=5.$$
$$y=3+5(x-1)=5x-2.$$
$$f(x)=6x-3x^2,\quad x_0=2$$
$$f(2)=12-12=0,$$
$$f'(x)=6-6x,\quad f'(2)=6-12=-6.$$
$$y=0-6(x-2)=12-6x.$$
$$f(x)=\frac{1}{x^3},\quad x_0=1$$
$$f(1)=1,$$
$$f'(x)=-\frac{3}{x^4},\quad f'(1)=-3.$$
$$y=1-3(x-1)=4-3x.$$
$$f(x)=\frac{1}{x^2},\quad x_0=-2$$
$$f(-2)=\frac{1}{4},$$
$$f'(x)=-\frac{2}{x^3},\quad f'(-2)=-\frac{2}{-8}=\frac{1}{4}.$$
$$y=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}(x+2)=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}.$$
$$f(x)=\cos x,\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},$$
$$f'(x)=-\sin x,\quad f’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
$$y=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{\pi\sqrt{3}}{6}.$$
$$f(x)=e^x,\quad x_0=0$$
$$f(0)=e^0=1,$$
$$f'(x)=e^x,\quad f'(0)=1.$$
$$y=1+1\cdot(x-0)=x+1.$$
$$f(x)=\ln x,\quad x_0=1$$
$$f(1)=\ln 1=0,$$
$$f'(x)=\frac{1}{x},\quad f'(1)=1.$$
$$y=0+1\cdot(x-1)=x-1.$$
$$f(x)=\sqrt{x},\quad x_0=1$$
$$f(1)=1,$$
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\quad f'(1)=\frac{1}{2}.$$
$$y=1+\frac{1}{2}(x-1)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}.$$
Ответ
1) $$y=5x-2$$; 2) $$y=12-6x$$; 3) $$y=4-3x$$; 4) $$y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}$$; 5) $$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{\pi\sqrt{3}}{6}$$; 6) $$y=x+1$$; 7) $$y=x-1$$; 8) $$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$.
