Упр.225 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти угол между осью $$Ox$$ и касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$, если:
   
   1) $$f(x)=\frac{1}{3}x^2,\quad x_0=1$$;
   
   2) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3,\quad x_0=1$$;
   
   3) $$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=1$$;
   
   4) $$f(x)=2\sqrt{x},\quad x_0=3$$;
   
   5) $$f(x)=e^{3x}+\frac{1}{2},\quad x_0=1$$;
   
   6) $$f(x)=\ln(2x+1),\quad x_0=\frac{1}{2}$$.

1. Угол наклона касательной к оси $$Ox$$ связан с её угловым коэффициентом формулой $$\tan \alpha = f'(x_0).$$

   1) $$f(x)=\frac{1}{3}x^2,\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=\frac{2}{3}x,$$
   $$f'(1)=\frac{2}{3}.$$
   Тогда
   $$\alpha=\arctan\frac{2}{3}.$$

2. 2) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3,\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=x^2,$$
   $$f'(1)=1.$$
   Значит,
   $$\alpha=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$$

3. 3) $$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=-\frac{1}{x^2},$$
   $$f'(1)=-1.$$
   Угол между осью $$Ox$$ и касательной берём в промежутке $$0\le \alpha<\pi$$, поэтому $$\alpha=\frac{3\pi}{4}.$$

4. 4) $$f(x)=2\sqrt{x},\quad x_0=3.$$

   $$f'(x)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}},$$
   $$f'(3)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
   Тогда
   $$\alpha=\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6}.$$

5. 5) $$f(x)=e^{\frac{3x+1}{2}},\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=\frac{3}{2}e^{\frac{3x+1}{2}},$$
   $$f'(1)=\frac{3}{2}e^2.$$
   Следовательно,
   $$\alpha=\arctan\left(\frac{3}{2}e^2\right).$$

6. 6) $$f(x)=\ln(2x+1),\quad x_0=\frac{1}{2}.$$

   $$f'(x)=\frac{2}{2x+1},$$
   $$f’\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{2\cdot \frac{1}{2}+1}=\frac{2}{2}=1.$$
   Значит,
   $$\alpha=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

1) $$\arctan\frac{2}{3}$$; 2) $$\frac{\pi}{4}$$; 3) $$\frac{3\pi}{4}$$; 4) $$\frac{\pi}{6}$$; 5) $$\arctan\left(\frac{3}{2}e^2\right)$$; 6) $$\frac{\pi}{4}$$.