Упр.221 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 221. Найти производную функции f(x) = ln(x2 + 5х + 6) при х < -3 и при х > -2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 221 118

Найдём производную функции

$$f(x)=\ln(x^2+5x+6).$$

По формуле производной логарифма:

$$f'(x)=\frac{(x^2+5x+6)’}{x^2+5x+6}=\frac{2x+5}{x^2+5x+6}.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2+5x+6=(x+3)(x+2).$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{2x+5}{(x+3)(x+2)}.$$

Область определения функции задаётся неравенством

$$x^2+5x+6>0,$$

то есть

$$ (x+3)(x+2)>0.$$

Отсюда

$$x<-3 \text{ или } x>-2.$$

Значит, производная существует при $$x<-3$$ и при $$x>-2$$.

Ответ

$$f'(x)=\frac{2x+5}{x^2+5x+6}=\frac{2x+5}{(x+3)(x+2)}, \quad x<-3 \text{ или } x>-2.$$