Упр.220 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) f(x) = х — lnх;
2) f(x) = хlnх;
3) f(x) = x2lnх;
4) f(x) = х3- 3sinх.

1. $$f(x)=x-\ln x,$$ область определения: $$x>0.$$

   $$f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$

   Так как при $$x>0$$ знаменатель положителен, знак производной определяется числителем:

   $$f'(x)=0 \text{ при } x=1,$$

   $$f'(x)>0 \text{ при } x>1,$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } 0<x<1.$$

2. $$f(x)=x\ln x,$$ область определения: $$x>0.$$

   $$f'(x)=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1.$$

   $$f'(x)=0 \iff \ln x+1=0 \iff \ln x=-1 \iff x=e^{-1}.$$

   Следовательно,

   $$f'(x)>0 \text{ при } x>e^{-1},$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } 0<x<e^{-1}.$$

3. $$f(x)=x^2\ln x,$$ область определения: $$x>0.$$

   $$f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).$$

   Так как $$x>0,$$ то знак производной определяется выражением $$2\ln x+1.$$

   $$f'(x)=0 \iff 2\ln x+1=0 \iff \ln x=-\frac{1}{2} \iff x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt e}.$$

   Значит,

   $$f'(x)>0 \text{ при } x>e^{-1/2},$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } 0<x<e^{-1/2}.$$

4. $$f(x)=x^3-3\ln x,$$ область определения: $$x>0.$$

   $$f'(x)=3x^2-3\cdot \frac{1}{x}=3x^2-\frac{3}{x}=\frac{3x^3-3}{x}=\frac{3(x^3-1)}{x}.$$

   При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:

   $$f'(x)=0 \text{ при } x=1,$$

   $$f'(x)>0 \text{ при } x>1,$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } 0<x<1.$$

Ответ

1) $$f'(x)=0$$ при $$x=1$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>1$$; $$f'(x)<0$$ при $$0<x<1$$.
2) $$f'(x)=0$$ при $$x=e^{-1}$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>e^{-1}$$; $$f'(x)<0$$ при $$0<x<e^{-1}$$.
3) $$f'(x)=0$$ при $$x=e^{-1/2}$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>e^{-1/2}$$; $$f'(x)<0$$ при $$0<x<e^{-1/2}$$.
4) $$f'(x)=0$$ при $$x=1$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>1$$; $$f'(x)<0$$ при $$0<x<1$$.