Упр.22 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 22. Доказать, что функция у = sin4х + cos4х периодическая, и найти её наименьший положительный период. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 22 118

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ y=\sin^4 x+\cos^4 x $$

Используем формулу:

$$ \sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x $$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, получаем:

$$ y=1-2\sin^2 x\cos^2 x $$

Поскольку $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, то

$$ \sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x $$

Следовательно,

$$ y=1-\frac12\sin^2 2x $$

Используем формулу $$\sin^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$$:

$$ y=1-\frac12\cdot \frac{1-\cos 4x}{2} =1-\frac14+\frac14\cos 4x =\frac34+\frac14\cos 4x $$

Функция $$\cos 4x$$ имеет наименьший положительный период $$\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$. Значит, такой же период имеет и функция $$y=\frac34+\frac14\cos 4x$$.