Упр.22 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что функция $$y=\sin^4 x+\cos^4 x$$ периодическая, и найти её наименьший положительный период.

Преобразуем выражение:

$$y=\sin^4 x+\cos^4 x$$

Используем формулу:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, получаем:

$$y=1-2\sin^2 x\cos^2 x$$

Поскольку $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$, то

$$\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x$$

Следовательно,

$$y=1-\frac12\sin^2 2x$$

Используем формулу $$\sin^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$$:

$$y=1-\frac12\cdot \frac{1-\cos 4x}{2} =1-\frac14+\frac14\cos 4x =\frac34+\frac14\cos 4x$$

Функция $$\cos 4x$$ имеет наименьший положительный период $$\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$. Значит, такой же период имеет и функция $$y=\frac34+\frac14\cos 4x$$.

Ответ

Функция периодическая, её наименьший положительный период равен $$\frac{\pi}{2}$$.