Упр.218 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти значения производной функции $$f(x)$$ в точках, в которых значение этой функции равно 0, если:

1. 1) $$f(x)=e^{2x}\ln(2x-1)$$; 2) $$f(x)=\sin x-\frac{\cos x}{\sin x}$$.

1. $$f(x)=e^{2x}\ln(2x-1).$$

   Найдём нули функции:

   $$e^{2x}\ln(2x-1)=0.$$

   Так как $$e^{2x}\neq 0,$$ то

   $$\ln(2x-1)=0,$$

   $$2x-1=1,$$

   $$x=1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(e^{2x})’\ln(2x-1)+e^{2x}(\ln(2x-1))’$$

   $$f'(x)=2e^{2x}\ln(2x-1)+e^{2x}\cdot \frac{2}{2x-1}.$$

   Подставим $$x=1$$:

   $$f'(1)=2e^2\ln 1+e^2\cdot \frac{2}{1}=0+2e^2=2e^2.$$

2. $$f(x)=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}=1-\ctg x.$$

   Найдём нули функции:

   $$1-\ctg x=0,$$

   $$\ctg x=1,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Производная:

   $$f'(x)=(1-\ctg x)’=\frac{1}{\sin^2 x}.$$

   Тогда при $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$ имеем

   $$f'(x)=\frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=2.$$

Ответ

1) $$2e^2$$; 2) $$2$$.