Упр.217 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) f(x)= 5(sin x-cosx) + корень 2cos5x;
2) f(x) = 1 — cos2x + sinx — cosx — x.

1) $$f(x)=5(\sin x-\cos x)+\sqrt{2}\cos 5x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=5(\cos x+\sin x)-5\sqrt{2}\sin 5x.$$

Вынесем общий множитель и преобразуем:

$$5\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\sin 5x\right)=0.$$

Так как $$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$ то

$$5\sqrt{2}\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin 5x\right)=0.$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\sin\left(\frac{\pi}{8}-2x\right)\cos\left(3x+\frac{\pi}{8}\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin\left(\frac{\pi}{8}-2x\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(3x+\frac{\pi}{8}\right)=0.$$

1) $$\frac{\pi}{8}-2x=\pi n,$$ тогда

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$3x+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ тогда

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$f(x)=1-\cos 2x+\sin x-\cos x-x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\sin 2x+\cos x+\sin x-1.$$

Преобразуем:

$$2\sin 2x=4\sin x\cos x,$$

поэтому

$$4\sin x\cos x+\cos x+\sin x-1=0.$$

Обозначим $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$

значит

$$2\sin x\cos x=y^2-1.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$2(y^2-1)+y-1=0,$$

$$2y^2+y-3=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+24=25,$$

$$y_{1}=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}, \quad y_{2}=\frac{-1+5}{4}=1.$$

1) Если $$\sin x+\cos x=-\frac{3}{2},$$ то

$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{3}{2},$$

что невозможно, так как $$\left|\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|\le \sqrt{2}.$$

2) Если $$\sin x+\cos x=1,$$ то

$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$