Упр.216 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) f(x) = ex — x;
2) f(x) = 6x + cos 3x;
3) f(x) = lnx — x;
4) f(x) = x-2lnx;
5) f(x) = 6x — x корень x;
6) f(x) = (x + 1) корень x +1 — 3x.

1. $$f(x)=e^x-x$$
   $$f'(x)=e^x-1$$
   Решаем неравенство:
   $$e^x-1>0$$
   $$e^x>1$$
   $$x>0$$

   Ответ: $$(0;+\infty)$$

2. $$f(x)=6x+\cos 3x$$
   $$f'(x)=6-3\sin 3x$$
   $$6-3\sin 3x>0$$
   $$\sin 3x<2$$
   Так как $$\sin 3x\in[-1;1]$$, неравенство выполняется при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

   Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$

3. $$f(x)=\ln x-x$$
   Область определения: $$x>0$$.
   $$f'(x)=\frac{1}{x}-1$$
   $$\frac{1}{x}-1>0$$
   $$\frac{1-x}{x}>0$$
   При $$x>0$$ получаем:
   $$1-x>0$$
   $$x<1$$
   Значит,
   $$0<x<1$$

   Ответ: $$(0;1)$$

4. $$f(x)=x-2\ln x$$
   Область определения: $$x>0$$.
   $$f'(x)=1-\frac{2}{x}$$
   $$1-\frac{2}{x}>0$$
   $$\frac{x-2}{x}>0$$
   При $$x>0$$ имеем:
   $$x-2>0$$
   $$x>2$$

   Ответ: $$(2;+\infty)$$

5. $$f(x)=6x-x\sqrt{x}$$
   Область определения: $$x\ge 0$$.
   $$f'(x)=6-\frac{3}{2}\sqrt{x}$$
   $$6-\frac{3}{2}\sqrt{x}>0$$
   $$12-3\sqrt{x}>0$$
   $$\sqrt{x}<4$$
   $$0\le x<16$$

   Ответ: $$[0;16)$$

6. $$f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}-3x$$
   Область определения: $$x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -1$$.
   $$f'(x)=\sqrt{x+1}+\frac{x+1}{2\sqrt{x+1}}-3$$
   $$\sqrt{x+1}+\frac{x+1}{2\sqrt{x+1}}=\frac{3}{2}\sqrt{x+1}$$
   Тогда
   $$\frac{3}{2}\sqrt{x+1}-3>0$$
   $$\frac{3}{2}\sqrt{x+1}>3$$
   $$\sqrt{x+1}>2$$
   $$x+1>4$$
   $$x>3$$

   Ответ: $$(3;+\infty)$$