Упр.215 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти значения $$x$$, при которых значение производной функции $$f(x)$$ равно $$0$$, если:

1. $$f(x)=x^2-6x-8\ln x$$;
2. $$f(x)=2\sqrt{x}-3\ln(x+2)$$;
3. $$f(x)=\sqrt{x}+1-\ln(x-2)$$;
4. $$f(x)=\ln(x-1)+2\ln(x+2)$$.

1. $$f(x)=x^2-6x-8\ln x$$

   Область определения: $$x>0$$.

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2x-6-\frac{8}{x}$$

   Приравняем к нулю:

   $$2x-6-\frac{8}{x}=0$$

   Умножим на $$x$$:

   $$2x^2-6x-8=0$$

   $$x^2-3x-4=0$$

   $$\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0$$

   $$x=4 \text{ или } x=-1$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.

2. $$f(x)=2\sqrt{x}-3\ln(x+2)$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x+2}$$

   Приравняем к нулю:

   $$\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x+2}=0$$

   $$x+2=3\sqrt{x}$$

   Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и

   $$t^2+2=3t$$

   $$t^2-3t+2=0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$

   $$t=1 \text{ или } t=2$$

   Тогда

   $$x=1 \text{ или } x=4$$

3. $$f(x)=\sqrt{x+1}-\ln(x-2)$$

   Область определения: $$x>2$$.

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{x-2}$$

   Приравняем к нулю:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{x-2}=0$$

   $$x-2=2\sqrt{x+1}$$

   Возведём в квадрат:

   $$\left(x-2\right)^2=4(x+1)$$

   $$x^2-4x+4=4x+4$$

   $$x^2-8x=0$$

   $$x(x-8)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=8$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=8$$.

4. $$f(x)=\ln(x-1)+2\ln(x+2)$$

   Область определения: $$x>1$$.

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+2}$$

   Приравняем к нулю:

   $$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+2}=0$$

   $$x+2+2(x-1)=0$$

   $$3x=0$$

   $$x=0$$

   Но $$x=0$$ не принадлежит области определения, значит корней нет.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$1,\,4$$; 3) $$8$$; 4) корней нет.