Упр.215 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = x2-6х-8lnх;
2) f(x)= 2 корень х -3ln(x + 2);
3) f(x) = корень x + 1 — ln(x — 2);
4) f(x) = ln(x — 1) + 2ln(x + 2).

Подробный ответ

$$f(x)=x^2-6x-8\ln x$$
Область определения: $$x>0$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-6-\frac{8}{x}$$
Приравняем к нулю:
$$2x-6-\frac{8}{x}=0$$
Умножим на $$x$$:
$$2x^2-6x-8=0$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0$$
$$x=4 \text{ или } x=-1$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.
$$f(x)=2\sqrt{x}-3\ln(x+2)$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x+2}$$
Приравняем к нулю:
$$\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{3}{x+2}=0$$
$$x+2=3\sqrt{x}$$
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и
$$t^2+2=3t$$
$$t^2-3t+2=0$$
$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$
$$t=1 \text{ или } t=2$$
Тогда
$$x=1 \text{ или } x=4$$
$$f(x)=\sqrt{x+1}-\ln(x-2)$$
Область определения: $$x>2$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{x-2}$$
Приравняем к нулю:
$$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{x-2}=0$$
$$x-2=2\sqrt{x+1}$$
Возведём в квадрат:
$$\left(x-2\right)^2=4(x+1)$$
$$x^2-4x+4=4x+4$$
$$x^2-8x=0$$
$$x(x-8)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=8$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=8$$.
$$f(x)=\ln(x-1)+2\ln(x+2)$$
Область определения: $$x>1$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+2}$$
Приравняем к нулю:
$$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+2}=0$$
$$x+2+2(x-1)=0$$
$$3x=0$$
$$x=0$$
Но $$x=0$$ не принадлежит области определения, значит корней нет.