Упр.214 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) 2x — log2x/xln2;
3) sinx — cosx/x;
4) 1-sin2x/sinx — cosx.

1. $$y=\frac{e^x-e^{-x}}{x}$$

   По правилу производной частного:

   $$ y'(x)=\frac{(e^x+e^{-x})\cdot x-(e^x-e^{-x})}{x^2} $$

   $$ y'(x)=\frac{x(e^x+e^{-x})-e^x+e^{-x}}{x^2} $$

2. $$y=\frac{2^x-\log_2 x}{x\ln 2}$$

   Так как $$x\ln 2$$ — множитель в знаменателе, применим правило производной частного:

   $$ y'(x)=\frac{\left(2^x\ln 2-\frac{1}{x\ln 2}\right)\cdot x\ln 2-(2^x-\log_2 x)\ln 2}{x^2\ln^2 2} $$

   Упростим:

   $$ y'(x)=\frac{x2^x\ln^2 2-1-2^x\ln 2+\log_2 x\cdot \ln 2}{x^2\ln^2 2} $$

   $$ y'(x)=\frac{1}{x^2\ln^2 2}\left(x2^x\ln^2 2-\frac{1}{\ln 2}-2^x+\log_2 x\right) $$

3. $$y=\frac{\sin x-\cos x}{x}$$

   По правилу производной частного:

   $$ y'(x)=\frac{(\cos x+\sin x)\cdot x-(\sin x-\cos x)}{x^2} $$

   $$ y'(x)=\frac{x(\cos x+\sin x)-\sin x+\cos x}{x^2} $$

4. $$y=\frac{1-\sin 2x}{\sin x-\cos x}$$

   Используем формулу $$1-\sin 2x=\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x=(\sin x-\cos x)^2$$:

   $$ y=\frac{(\sin x-\cos x)^2}{\sin x-\cos x}=\sin x-\cos x $$

   Тогда

   $$ y’=\cos x+\sin x $$

Ответ

1) $$y’=\frac{(e^x+e^{-x})x-(e^x-e^{-x})}{x^2}$$;
2) $$y’=\frac{\left(2^x\ln 2-\frac{1}{x\ln 2}\right)x\ln 2-(2^x-\log_2 x)\ln 2}{x^2\ln^2 2}$$;
3) $$y’=\frac{(\cos x+\sin x)x-(\sin x-\cos x)}{x^2}$$;
4) $$y’=\cos x+\sin x$$.