Упр.213 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$1+\frac{\cos x}{\sin x}$$
2. $$\sqrt{3x}/(3x+1)$$
3. $$\frac{x^2-2x+3}{x^2+4x+1}$$
4. $$\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$$

1. $$y=\frac{1+\cos x}{\sin x}$$

   По формуле производной частного:

   $$y'(x)=\frac{(1+\cos x)’\sin x-(1+\cos x)(\sin x)’}{\sin^2 x}$$

   $$y'(x)=\frac{(-\sin x)\sin x-(1+\cos x)\cos x}{\sin^2 x}$$

   $$y'(x)=\frac{-\sin^2 x-\cos x-\cos^2 x}{\sin^2 x} =\frac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)-\cos x}{\sin^2 x} =\frac{-1-\cos x}{\sin^2 x}$$

   Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x=(1-\cos x)(1+\cos x),$$ то

   $$y'(x)=\frac{-(1+\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=-\frac{1}{1-\cos x}=\frac{1}{\cos x-1}$$

2. $$y=\frac{\sqrt{3x}}{3^x+1}$$

   По формуле производной частного:

   $$y'(x)=\frac{(\sqrt{3x})'(3^x+1)-\sqrt{3x}(3^x+1)’}{(3^x+1)^2}$$

   $$(\sqrt{3x})’=\frac{3}{2\sqrt{3x}}, \qquad (3^x+1)’=3^x\ln 3$$

   Тогда

   $$y'(x)=\frac{\frac{3}{2\sqrt{3x}}(3^x+1)-\sqrt{3x}\cdot 3^x\ln 3}{(3^x+1)^2}$$

3. $$y=\frac{x^2-2x+3}{x^2+4x+1}$$

   По формуле производной частного:

   $$y'(x)=\frac{(2x-2)(x^2+4x+1)-(2x+4)(x^2-2x+3)}{(x^2+4x+1)^2}$$

   Раскроем скобки:

   $$(2x-2)(x^2+4x+1)=2x^3+6x^2-6x-2$$

   $$(2x+4)(x^2-2x+3)=2x^3+8x-12$$

   Тогда

   $$y'(x)=\frac{2x^3+6x^2-6x-2-(2x^3+8x-12)}{(x^2+4x+1)^2} =\frac{6x^2-14x+10}{(x^2+4x+1)^2}$$

4. $$y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$$

   По формуле производной частного:

   $$y'(x)=\frac{(2x-1)(x^2+x+1)-(2x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+x+1)^2}$$

   Раскроем скобки:

   $$(2x-1)(x^2+x+1)=2x^3+x^2+x-1$$

   $$(2x+1)(x^2-x+1)=2x^3-x^2+x+1$$

   Тогда

   $$y'(x)=\frac{2x^3+x^2+x-1-(2x^3-x^2+x+1)}{(x^2+x+1)^2} =\frac{2x^2-2}{(x^2+x+1)^2} =\frac{2(x^2-1)}{(x^2+x+1)^2}$$

Ответ

$$1)\ y’=\frac{1}{\cos x-1};\quad 2)\ y’=\frac{\frac{3}{2\sqrt{3x}}(3^x+1)-\sqrt{3x}\cdot 3^x\ln 3}{(3^x+1)^2};$$

$$3)\ y’=\frac{6x^2-14x+10}{(x^2+4x+1)^2};\quad 4)\ y’=\frac{2(x^2-1)}{(x^2+x+1)^2}.$$