Упр.212 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
$$y=\sqrt{x^2+1}\cdot \ctg 4x$$
Применим правило произведения:
$$y’=\left(\sqrt{x^2+1}\right)’\ctg 4x+\sqrt{x^2+1}\,(\ctg 4x)’$$
$$\left(\sqrt{x^2+1}\right)’=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}},\qquad (\ctg 4x)’=-\frac{4}{\sin^2 4x}$$
$$y’=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\ctg 4x-\sqrt{x^2+1}\cdot \frac{4}{\sin^2 4x}$$
$$y=e^{x/2}\cdot \sin^3 3x$$
$$y’=\left(e^{x/2}\right)’\sin^3 3x+e^{x/2}\left(\sin^3 3x\right)’$$
$$\left(e^{x/2}\right)’=\frac12 e^{x/2},\qquad \left(\sin^3 3x\right)’=3\sin^2 3x\cdot (\sin 3x)’=3\sin^2 3x\cdot 3\cos 3x$$
$$y’=\frac12 e^{x/2}\sin^3 3x+9e^{x/2}\sin^2 3x\cos 3x$$
$$y=\sqrt{x}\cdot \sin 4x$$
$$y’=\left(\sqrt{x}\right)’\sin 4x+\sqrt{x}\,(\sin 4x)’$$
$$\left(\sqrt{x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad (\sin 4x)’=4\cos 4x$$
$$y’=\frac{\sin 4x}{2\sqrt{x}}+4\sqrt{x}\cos 4x$$
$$y=e^{3-2x}\cdot \cos(3-2x)$$
$$y’=\left(e^{3-2x}\right)’\cos(3-2x)+e^{3-2x}\left(\cos(3-2x)\right)’$$
$$\left(e^{3-2x}\right)’=-2e^{3-2x},\qquad \left(\cos(3-2x)\right)’=-\sin(3-2x)\cdot(-2)=2\sin(3-2x)$$
$$y’=-2e^{3-2x}\cos(3-2x)+2e^{3-2x}\sin(3-2x)$$
Ответ
1) $$y’=\frac{x\ctg 4x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{4\sqrt{x^2+1}}{\sin^2 4x}$$
2) $$y’=\frac12 e^{x/2}\sin^3 3x+9e^{x/2}\sin^2 3x\cos 3x$$
3) $$y’=\frac{\sin 4x}{2\sqrt{x}}+4\sqrt{x}\cos 4x$$
4) $$y’=-2e^{3-2x}\cos(3-2x)+2e^{3-2x}\sin(3-2x)$$
