Упр.211 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\log_2(x^3+4)$$
2. $$2x^2+3x$$
3. $$\operatorname{tg}^2 2x$$
4. $$\ln x-\frac{2}{x}+2$$

1. $$y=\log_2(x^3+4)$$

   Используем формулу $$\left(\log_a u\right)’=\dfrac{u’}{u\ln a}$$:

   $$y’=\dfrac{(x^3+4)’}{(x^3+4)\ln 2}=\dfrac{3x^2}{(x^3+4)\ln 2}.$$

2. $$y=2^{x^2+3x}$$

   По формуле $$\left(a^{u}\right)’=a^{u}\ln a\cdot u’$$ получаем:

   $$y’=2^{x^2+3x}\ln 2\cdot (x^2+3x)’=2^{x^2+3x}(2x+3)\ln 2.$$

3. $$y=\tg^2 2x$$

   Применим правило производной сложной функции:

   $$y’=2\tg 2x\cdot (\tg 2x)’=2\tg 2x\cdot \dfrac{1}{\cos^2 2x}\cdot 2.$$

   Следовательно,

   $$y’=\dfrac{4\tg 2x}{\cos^2 2x}=\dfrac{4\sin 2x}{\cos^3 2x}.$$

4. $$y=\ln \dfrac{x-2}{x+2}$$

   Используем формулу $$\left(\ln u\right)’=\dfrac{u’}{u}$$:

   $$y’=\dfrac{\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)’}{\dfrac{x-2}{x+2}}.$$

   Найдём производную дроби:

   $$\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)’=\dfrac{(x+2)\cdot 1-(x-2)\cdot 1}{(x+2)^2}=\dfrac{4}{(x+2)^2}.$$

   Тогда

   $$y’=\dfrac{4}{(x+2)^2}\cdot \dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{4}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{4}{x^2-4}.$$

Ответ

$$1)\ y’=\dfrac{3x^2}{(x^3+4)\ln 2};\quad 2)\ y’=(2x+3)2^{x^2+3x}\ln 2;\quad 3)\ y’=\dfrac{4\sin 2x}{\cos^3 2x};\quad 4)\ y’=\dfrac{4}{x^2-4}.$$