Упр.21 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) y = sin корень |x|;
2) y = sinx + sin корень 2x.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=\sin\sqrt{|x|}.$$
Предположим, что она периодическая и имеет период $$T\neq 0.$$ Тогда для любого $$x$$ должно выполняться
$$\sin\sqrt{|x+T|}=\sin\sqrt{|x|}.$$
Возьмём $$x=0$$. Тогда
$$\sin\sqrt{|T|}=0,$$
значит,
$$\sqrt{|T|}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$|T|=\pi^2n^2.$$
Теперь возьмём $$x=\pi^2.$$ Тогда
$$y(\pi^2)=\sin\pi=0,$$
а
$$y(\pi^2+T)=\sin\sqrt{\pi^2+\pi^2n^2}=\sin\bigl(\pi\sqrt{1+n^2}\bigr).$$
Чтобы это тоже было равно нулю, нужно, чтобы
$$\sqrt{1+n^2}\in\mathbb Z.$$
Но при целых $$n$$ это возможно только при $$n=0,$$ то есть $$T=0,$$ что противоречит определению периода.
Следовательно, функция $$y=\sin\sqrt{|x|}$$ не является периодической.
Рассмотрим функцию $$y=\sin x+\sin\sqrt{2}\,x.$$
Если бы она была периодической с периодом $$T\neq 0,$$ то одновременно должны были бы выполняться условия периодичности для обоих слагаемых:
$$\sin(x+T)=\sin x,$$
$$\sin\bigl(\sqrt{2}(x+T)\bigr)=\sin(\sqrt{2}x).$$
Отсюда следует, что $$T$$ должен быть периодом функции $$\sin x$$, то есть
$$T=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
и одновременно периодом функции $$\sin(\sqrt{2}x),$$ то есть
$$\sqrt{2}\,T=2\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$\sqrt{2}\cdot 2\pi k=2\pi m,$$
$$\sqrt{2}k=m.$$
Но это невозможно при целых $$k$$ и $$m$$, если $$k\neq 0,$$ так как $$\sqrt{2}$$ — иррациональное число. Значит, общего ненулевого периода не существует.
Следовательно, функция $$y=\sin x+\sin\sqrt{2}\,x$$ не является периодической.