Упр.21 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что функция не является периодической:

1. $$y=\sin\sqrt{|x|}$$;
2. $$y=\sin x+\sin\sqrt{2}x$$.

1. Рассмотрим функцию $$y=\sin\sqrt{|x|}.$$

   Предположим, что она периодическая и имеет период $$T\neq 0.$$ Тогда для любого $$x$$ должно выполняться

   $$\sin\sqrt{|x+T|}=\sin\sqrt{|x|}.$$

   Возьмём $$x=0$$. Тогда

   $$\sin\sqrt{|T|}=0,$$

   значит,

   $$\sqrt{|T|}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$|T|=\pi^2n^2.$$

   Теперь возьмём $$x=\pi^2.$$ Тогда

   $$y(\pi^2)=\sin\pi=0,$$

   а

   $$y(\pi^2+T)=\sin\sqrt{\pi^2+\pi^2n^2}=\sin\bigl(\pi\sqrt{1+n^2}\bigr).$$

   Чтобы это тоже было равно нулю, нужно, чтобы

   $$\sqrt{1+n^2}\in\mathbb Z.$$

   Но при целых $$n$$ это возможно только при $$n=0,$$ то есть $$T=0,$$ что противоречит определению периода.

   Следовательно, функция $$y=\sin\sqrt{|x|}$$ не является периодической.

2. Рассмотрим функцию $$y=\sin x+\sin\sqrt{2}\,x.$$

   Если бы она была периодической с периодом $$T\neq 0,$$ то одновременно должны были бы выполняться условия периодичности для обоих слагаемых:

   $$\sin(x+T)=\sin x,$$

   $$\sin\bigl(\sqrt{2}(x+T)\bigr)=\sin(\sqrt{2}x).$$

   Отсюда следует, что $$T$$ должен быть периодом функции $$\sin x$$, то есть

   $$T=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

   и одновременно периодом функции $$\sin(\sqrt{2}x),$$ то есть

   $$\sqrt{2}\,T=2\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$\sqrt{2}\cdot 2\pi k=2\pi m,$$

   $$\sqrt{2}k=m.$$

   Но это невозможно при целых $$k$$ и $$m$$, если $$k\neq 0,$$ так как $$\sqrt{2}$$ — иррациональное число. Значит, общего ненулевого периода не существует.

   Следовательно, функция $$y=\sin x+\sin\sqrt{2}\,x$$ не является периодической.

Ответ

Обе функции не являются периодическими.