Упр.209 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) f(x) = x-cosx;
2) f(x) = 1/2*х — sinx;
3) f(x) = ln(x + 1) — 2x;
4) f(x) = 2ln(x + 3) — x;
5) f(x) = 2x + 2^-x;
6) f(x) = 32x — 2xln3;
7) f(x) = 21n(x + 3) — x;
8) f(x) = x + ln(2x + 1).
$$f(x)=x-\cos x$$
$$f'(x)=1+\sin x$$
$$1+\sin x=0$$
$$\sin x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
$$f(x)=\frac12 x-\sin x$$
$$f'(x)=\frac12-\cos x$$
$$\frac12-\cos x=0$$
$$\cos x=\frac12$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
$$f(x)=\ln(x+1)-2x$$
Область определения: $$x>-1$$.
$$f'(x)=\frac{1}{x+1}-2$$
$$\frac{1}{x+1}-2=0$$
$$\frac{1}{x+1}=2$$
$$x+1=\frac12$$
$$x=-\frac12$$
$$f(x)=2\ln(x+3)-x$$
Область определения: $$x>-3$$.
$$f'(x)=\frac{2}{x+3}-1$$
$$\frac{2}{x+3}-1=0$$
$$\frac{2}{x+3}=1$$
$$x+3=2$$
$$x=-1$$
$$f(x)=2^x+2^{-x}$$
$$f'(x)=2^x\ln 2-2^{-x}\ln 2$$
$$2^x\ln 2-2^{-x}\ln 2=0$$
$$\ln 2\,(2^x-2^{-x})=0$$
$$2^x-2^{-x}=0$$
$$2^x=2^{-x}$$
$$x=0$$
$$f(x)=3^{2x}-2x\ln 3$$
$$f'(x)=2\cdot 3^{2x}\ln 3-2\ln 3$$
$$2\ln 3\,(3^{2x}-1)=0$$
$$3^{2x}-1=0$$
$$3^{2x}=1$$
$$3^{2x}=3^0$$
$$2x=0$$
$$x=0$$
$$f(x)=2\ln(x+3)-x$$
Область определения: $$x>-3$$.
$$f'(x)=\frac{2}{x+3}-1$$
$$\frac{2}{x+3}-1=0$$
$$\frac{2}{x+3}=1$$
$$x+3=2$$
$$x=-1$$
$$f(x)=x+\ln(2x+1)$$
Область определения: $$2x+1>0$$, то есть $$x>-\frac12$$.
$$f'(x)=1+\frac{2}{2x+1}$$
$$1+\frac{2}{2x+1}=0$$
$$\frac{2x+1+2}{2x+1}=0$$
$$2x+3=0$$
$$x=-\frac32$$
Но $$-\frac32<-\frac12$$, значит это значение не принадлежит области определения.
Следовательно, производная не обращается в нуль ни при каком допустимом $$x$$.
Ответ
1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; 2) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; 3) $$x=-\frac12$$; 4) $$x=-1$$; 5) $$x=0$$; 6) $$x=0$$; 7) $$x=-1$$; 8) таких значений нет.
