Упр.20 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Выяснить, является ли периодической функция:
   1) $$y=\sqrt{\sin x}$$;
   2) $$y=\sin\sqrt{x}$$;
   3) $$y=\left|\sin|x|\right|$$.

1. $$y=\sqrt{\sin x}$$

   Проверим периодичность:

   $$y(x+T)=y(x)$$

   Тогда

   $$\sqrt{\sin(x+T)}=\sqrt{\sin x}$$

   Отсюда

   $$\sin(x+T)=\sin x.$$

   Функция $$\sin x$$ периодична с периодом $$2\pi$$, значит и функция $$\sqrt{\sin x}$$ периодична.

   Да.

2. $$y=\sin\sqrt{x}$$

   Область определения:

   $$x\ge 0.$$

   Предположим, что существует период $$T>0$$. Возьмём $$x=\dfrac{T}{2}$$. Тогда

   $$x-T=\frac{T}{2}-T=-\frac{T}{2}<0,$$

   то есть точка $$x-T$$ не принадлежит области определения функции. Следовательно, период у функции отсутствует.

   Нет.

3. $$y=|\sin|x||$$

   Проверим период $$T=\pi$$:

   $$|\sin|x+\pi||=|\sin|x||.$$

   Действительно, при любом $$x$$ значение $$|x+\pi|$$ отличается от $$|x|$$ на целое число периодов для синуса с учётом модуля, поэтому

   $$|\sin|x+\pi||=|\sin|x||.$$

   Значит, функция периодична.

   Да.

Ответ

1) да; 2) нет; 3) да.