Упр.195 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти производную функции $$f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}$$ при $$x<2$$ и при $$x>3$$.

$$f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}$$

Найдём производную по правилу:

$$\left(\sqrt{u}\right)’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}$$

Здесь $$u=x^2-5x+6,$$ тогда $$u’=2x-5.$$

Следовательно,

$$f'(x)=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+6}}.$$

Найдём область определения функции:

$$x^2-5x+6>0$$

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$

поэтому

$$(x-2)(x-3)>0$$

Отсюда

$$x<2 \quad \text{или} \quad x>3.$$

На этих промежутках производная имеет вид

$$f'(x)=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+6}}=\frac{2x-5}{2\sqrt{(x-2)(x-3)}}.$$

Ответ

$$f'(x)=\frac{2x-5}{2\sqrt{x^2-5x+6}}, \quad x<2 \text{ или } x>3.$$