Упр.191 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) f(x) = x4-4×2+ 1;
2) f(x) = 3×4 — 4×3 — 12×2 + 3;
3) f(x) = (x + 1/x) ;
4) f(x)= x3+16/x;
5) f(x) = (x + 2)2 корень x;
6) f(x) = (x- 3) корень x.
$$f(x)=x^4-4x^2+1$$
$$f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$$
$$f'(x)>0 \iff x\in(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty)$$
$$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+3$$
$$f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x+1)(x-2)$$
$$f'(x)>0 \iff x\in(-1;0)\cup(2;+\infty)$$
$$f(x)=\left(x+\frac1x\right)^2$$
$$D(f): x\ne 0$$
$$f'(x)=2\left(x+\frac1x\right)\left(1-\frac1{x^2}\right)=2\cdot \frac{(x^2+1)(x-1)(x+1)}{x^3}$$
Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x$$, то
$$f'(x)>0 \iff \frac{(x-1)(x+1)}{x^3}>0 \iff x\in(-1;0)\cup(1;+\infty)$$
$$f(x)=\frac{x^3+16}{x}$$
$$D(f): x\ne 0$$
$$f'(x)=\frac{3x^2\cdot x-(x^3+16)}{x^2}=\frac{2x^3-16}{x^2}=\frac{2(x^3-8)}{x^2}$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, получаем
$$f'(x)>0 \iff x^3-8>0 \iff x>2$$
$$f(x)=(x+2)^2\sqrt{x}$$
$$D(f): x\ge 0$$, а для производной нужно $$x>0$$
$$f'(x)=2(x+2)\sqrt{x}+(x+2)^2\cdot \frac1{2\sqrt{x}}$$
$$f'(x)=\frac{(x+2)(4x+x+2)}{2\sqrt{x}}=\frac{(x+2)(5x+2)}{2\sqrt{x}}$$
При $$x>0$$ все множители положительны, значит
$$f'(x)>0 \iff x\in(0;+\infty)$$
$$f(x)=(x-3)\sqrt{x}$$
$$D(f): x\ge 0$$, а для производной нужно $$x>0$$
$$f'(x)=\sqrt{x}+(x-3)\cdot \frac1{2\sqrt{x}}=\frac{2x+x-3}{2\sqrt{x}}=\frac{3x-3}{2\sqrt{x}}$$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому
$$f'(x)>0 \iff 3x-3>0 \iff x>1$$
Ответ
1) $$(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty)$$; 2) $$(-1;0)\cup(2;+\infty)$$; 3) $$(-1;0)\cup(1;+\infty)$$; 4) $$(2;+\infty)$$; 5) $$(0;+\infty)$$; 6) $$(1;+\infty)$$.
