Упр.189 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{2x^2-3x+1}{x+1}$$
2. $$\frac{3x^2+2x-1}{2x+1}$$
3. $$\frac{2x}{1-x^2}+\frac{1}{x}$$
4. $$\frac{2-x}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2-x}$$

1. $$y=\frac{2x^2-3x+1}{x+1}$$

   По формуле производной частного:

   $$y'(x)=\frac{(4x-3)(x+1)-(2x^2-3x+1)}{(x+1)^2}$$

   $$y'(x)=\frac{4x^2+4x-3x-3-2x^2+3x-1}{(x+1)^2} =\frac{2x^2+4x-4}{(x+1)^2} =\frac{2(x^2+2x-2)}{(x+1)^2}$$

2. $$y=\frac{3x^2+2x-1}{2x+1}$$

   $$y'(x)=\frac{(6x+2)(2x+1)-2(3x^2+2x-1)}{(2x+1)^2}$$

   $$y'(x)=\frac{12x^2+6x+4x+2-6x^2-4x+2}{(2x+1)^2} =\frac{6x^2+6x+4}{(2x+1)^2} =\frac{2(3x^2+3x+2)}{(2x+1)^2}$$

3. $$y=\frac{2x}{1-x^2}+\frac{1}{x}$$

   $$y'(x)=\frac{2(1-x^2)-2x(-2x)}{(1-x^2)^2}-\frac{1}{x^2}$$

   $$y'(x)=\frac{2-2x^2+4x^2}{(1-x^2)^2}-\frac{1}{x^2} =\frac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}-\frac{1}{x^2}$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$y'(x)=\frac{2x^2(1+x^2)-(1-x^2)^2}{x^2(1-x^2)^2} =\frac{2x^2+2x^4-(1-2x^2+x^4)}{x^2(1-x^2)^2} =\frac{x^4+4x^2-1}{x^2(1-x^2)^2}$$

4. $$y=\frac{2-x}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2-x}$$

   $$y'(x)=\left(\frac{2-x}{\sqrt{x}}\right)’+\left(\frac{\sqrt{x}}{2-x}\right)’$$

   $$\left(\frac{2-x}{\sqrt{x}}\right)’= \frac{(-1)\sqrt{x}-(2-x)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$$

   $$\left(\frac{\sqrt{x}}{2-x}\right)’= \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(2-x)+\sqrt{x}}{(2-x)^2}$$

   После приведения к общему знаменателю получаем:

   $$y'(x)=\frac{(x+2)(5x-x^2-4)}{2x\sqrt{x}(2-x)^2}$$

Ответ

1) $$y’=\frac{2(x^2+2x-2)}{(x+1)^2}$$;
2) $$y’=\frac{2(3x^2+3x+2)}{(2x+1)^2}$$;
3) $$y’=\frac{x^4+4x^2-1}{x^2(1-x^2)^2}$$;
4) $$y’=\frac{(x+2)(5x-x^2-4)}{2x\sqrt{x}(2-x)^2}$$.