Упр.184 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ значение производной функции $$y=(x-3)^5(2+5x)^{в}$$ равно 0?

Найдём производную функции

$$y=(x-3)^5(2+5x)^6.$$

Применим правило производной произведения:

$$y’ = 5(x-3)^4(2+5x)^6 + (x-3)^5 \cdot 6(2+5x)^5 \cdot 5.$$

Вынесем общий множитель:

$$y’ = 5(x-3)^4(2+5x)^5\bigl((2+5x)+6(x-3)\bigr).$$

Упростим скобки:

$$(2+5x)+6(x-3)=2+5x+6x-18=11x-16.$$

Тогда

$$y’ = 5(x-3)^4(2+5x)^5(11x-16).$$

Чтобы производная была равна нулю, достаточно, чтобы хотя бы один множитель был равен нулю:

$$x-3=0,\quad 2+5x=0,\quad 11x-16=0.$$

Решаем:

$$x=3,\quad x=-\frac{2}{5},\quad x=\frac{16}{11}.$$

Ответ

$$-\frac{2}{5};\ \frac{16}{11};\ 3.$$