Упр.182 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0:

1. $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$$;
2. $$f(x)=x^4+4x^3-8x^2-5$$;
3. $$f(x)=(x^2+3)(2x^2+5)$$;
4. $$f(x)=x+\frac{1}{x}$$;
5. $$f(x)=(x-1)^2x\sqrt{x}$$;
6. $$f(x)=3x^4-4x^3+6x^2-12x$$.

1. $$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$$

   $$f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=0$$

   $$12x(x-2)(x+1)=0$$

   $$x=-1,\;0,\;2$$

2. $$f(x)=x^4+4x^3-8x^2-5$$

   $$f'(x)=4x^3+12x^2-16x=4x(x^2+3x-4)=0$$

   $$4x(x-1)(x+4)=0$$

   $$x=-4,\;0,\;1$$

3. $$f(x)=(x^2+3)(2x^2+5)$$

   $$f'(x)=2x(2x^2+5)+4x(x^2+3)=0$$

   $$8x^3+22x=2x(4x^2+11)=0$$

   $$x=0$$

4. $$f(x)=x+\frac{1}{x}, \quad x\ne 0$$

   $$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=0$$

   $$x^2=1$$

   $$x=\pm 1$$

5. $$f(x)=(x-1)^2x\sqrt{x}, \quad x\ge 0$$

   $$f'(x)=2(x-1)x\sqrt{x}+(x-1)^2\cdot \frac{3}{2}\sqrt{x}=0$$

   $$\sqrt{x}(x-1)\left(2x+\frac{3}{2}(x-1)\right)=0$$

   $$\sqrt{x}(x-1)(7x-3)=0$$

   $$x=0,\;\frac{3}{7},\;1$$

6. $$f(x)=3x^4-4x^3+6x^2-12x$$

   $$f'(x)=12x^3-12x^2+12x-12=12(x^3-x^2+x-1)=0$$

   $$12(x-1)(x^2+1)=0$$

   $$x=1$$

Ответ

1) $$-1,\;0,\;2$$; 2) $$-4,\;0,\;1$$; 3) $$0$$; 4) $$-1,\;1$$; 5) $$0,\;\frac{3}{7},\;1$$; 6) $$1$$.