Упр.177 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти производную функции $$g(x)$$, обратной к функции $$f(x)$$, если:
1) $$f(x)=2x+3/x-2$$;
2) $$f(x)=x^2,\quad x>0$$.

1. Пусть $$y=f(x)=\dfrac{2x+3}{x-2}$$, тогда для обратной функции $$x=g(y)$$:

   $$x=\frac{2g(y)+3}{g(y)-2}$$
   $$x(g(y)-2)=2g(y)+3$$
   $$xg(y)-2x=2g(y)+3$$
   $$g(y)(x-2)=2x+3$$
   $$g(y)=\frac{2x+3}{x-2}$$

   Найдём производную:

   $$g'(x)=\left(\frac{2x+3}{x-2}\right)’=\frac{2(x-2)-(2x+3)}{(x-2)^2}$$
   $$g'(x)=\frac{2x-4-2x-3}{(x-2)^2}=-\frac{7}{(x-2)^2}$$

2. Пусть $$y=f(x)=x^2,\quad x>0.$$ Тогда обратная функция:

   $$x=g(y)=\sqrt{y}$$

   Следовательно,

   $$g'(x)=(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ

1) $$g'(x)=-\dfrac{7}{(x-2)^2}$$;
2) $$g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$.