Упр.177 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) f(x) = 2x+3/x-2;
2) f(x) = x2, x > 0.

1. Пусть $$y=f(x)=\dfrac{2x+3}{x-2}$$, тогда для обратной функции $$x=g(y)$$:

   $$ x=\frac{2g(y)+3}{g(y)-2} $$
   $$ x(g(y)-2)=2g(y)+3 $$
   $$ xg(y)-2x=2g(y)+3 $$
   $$ g(y)(x-2)=2x+3 $$
   $$ g(y)=\frac{2x+3}{x-2} $$

   Найдём производную:

   $$ g'(x)=\left(\frac{2x+3}{x-2}\right)’=\frac{2(x-2)-(2x+3)}{(x-2)^2} $$
   $$ g'(x)=\frac{2x-4-2x-3}{(x-2)^2}=-\frac{7}{(x-2)^2} $$

2. Пусть $$y=f(x)=x^2,\quad x>0.$$ Тогда обратная функция:

   $$ x=g(y)=\sqrt{y} $$

   Следовательно,

   $$ g'(x)=(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Ответ

1) $$g'(x)=-\dfrac{7}{(x-2)^2}$$;
2) $$g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$.