Упр.176 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Записать формулой функцию $$f(g(x))$$ и найти её производную, если:
1) $$f(y)=\sqrt{y^2-1},\quad y=g(x)=\sqrt{x^2+1}$$;
2) $$f(y)=\sqrt{1-y^2},\quad y=g(x)=\cos x$$.

1. $$f(y)=\sqrt{y^2-1}, \quad y=g(x)=\sqrt{x^2+1}.$$

   Тогда

   $$f(g(x))=\sqrt{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2-1}=\sqrt{x^2}=|x|.$$

   Найдём производную функции $$|x|$$:

   $$(|x|)’= \begin{cases} -1, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases}$$

   При $$x=0$$ производная не существует.

2. $$f(y)=\sqrt{1-y^2}, \quad y=g(x)=\cos x.$$

   Тогда

   $$f(g(x))=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|.$$

   Найдём производную функции $$|\sin x|$$:

   $$(|\sin x|)’= \begin{cases} -\cos x, & \pi+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\\ \cos x, & 2\pi n<x<\pi+2\pi n, \end{cases} \quad n\in\mathbb{Z}.$$

   В точках $$x=\pi n$$ производная не существует.

Ответ

1) $$f(g(x))=|x|,$$

$$f'(g(x))= \begin{cases} -1, & x<0,\\ 1, & x>0. \end{cases}$$

2) $$f(g(x))=|\sin x|,$$

$$f'(g(x))= \begin{cases} -\cos x, & \pi+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\\ \cos x, & 2\pi n<x<\pi+2\pi n, \end{cases} \quad n\in\mathbb{Z}.$$