Упр.175 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Выяснить, при каких значениях $$x$$ производная функции $$f(x)$$ принимает отрицательные значения, если:

1. $$f(x)=\frac{3x^2-1}{1-2x}$$;
2. $$f(x)=\frac{3x^3}{1-3x}$$.

1) $$f(x)=\frac{3x^2-1}{1-2x}$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$f'(x)=\frac{(3x^2-1)'(1-2x)-(3x^2-1)(1-2x)’}{(1-2x)^2} =\frac{6x(1-2x)-(3x^2-1)(-2)}{(1-2x)^2}.$$

Упростим:

$$f'(x)=\frac{6x-12x^2+6x^2-2}{(1-2x)^2} =\frac{-6x^2+6x-2}{(1-2x)^2} =-\frac{6x^2-6x+2}{(1-2x)^2}.$$

Так как $$(1-2x)^2>0$$ при $$x\ne \frac12$$, а

$$6x^2-6x+2=2(3x^2-3x+1),$$

то рассмотрим квадратный трёхчлен $$3x^2-3x+1$$. Его дискриминант:

$$D=(-3)^2-4\cdot 3\cdot 1=9-12=-3<0.$$

При $$a=3>0$$ трёхчлен всегда положителен, значит

$$6x^2-6x+2>0$$

для всех $$x$$, при которых производная определена. Следовательно,

$$f'(x)<0 \quad \text{при всех } x\ne \frac12.$$

2) $$f(x)=\frac{3x^3}{1-3x}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(3x^3)'(1-3x)-3x^3(1-3x)’}{(1-3x)^2} =\frac{9x^2(1-3x)-3x^3(-3)}{(1-3x)^2}.$$

Упростим:

$$f'(x)=\frac{9x^2-27x^3+9x^3}{(1-3x)^2} =\frac{9x^2-18x^3}{(1-3x)^2} =\frac{9x^2(1-2x)}{(1-3x)^2}.$$

Так как $$(1-3x)^2>0$$ при $$x\ne \frac13$$, а $$9x^2\ge 0$$, то знак производной определяется множителем $$1-2x$$. Для отрицательности нужно:

$$1-2x<0 \quad \Rightarrow \quad x>\frac12.$$

При этом $$x\ne \frac13$$ автоматически выполняется, так как $$\frac13<\frac12$$.

Ответ

1) $$(-\infty;\tfrac12)\cup(\tfrac12;+\infty)$$;

2) $$\left(\tfrac12;+\infty\right)$$.