Упр.174 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Выяснить, при каких значениях $$x$$ производная функции $$f(x)$$ принимает положительные значения, если:

1. $$f(x)=(x+2)^2x^3$$;
2. $$f(x)=(x-3)^3x^2$$.

1. $$f(x)=(x+2)^2x^3$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2(x+2)\cdot x^3+(x+2)^2\cdot 3x^2$$

   $$f'(x)=x^2(x+2)\bigl(2x+3(x+2)\bigr)=x^2(x+2)(5x+6)$$

   Решаем неравенство:

   $$x^2(x+2)(5x+6)>0$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, получаем:

   $$(x+2)(5x+6)>0,\quad x\ne 0$$

   Корни: $$x=-2$$ и $$x=-\frac{6}{5}=-1{,}2$$. Тогда

   $$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup\left(-\frac{6}{5};0\right)\cup(0;+\infty).$$

2. $$f(x)=(x-3)\cdot 3x^2$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=1\cdot 3x^2+(x-3)\cdot 6x$$

   $$f'(x)=3x^2+6x^2-18x=9x^2-18x=9x(x-2)$$

   Решаем неравенство:

   $$9x(x-2)>0$$

   $$x(x-2)>0$$

   Отсюда

   $$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-2)\cup\left(-\frac{6}{5};0\right)\cup(0;+\infty)$$;
2) $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$.