Упр.173 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Выяснить, при каких значениях $$x$$ производная функции $$f(x)$$ принимает отрицательные значения, если:
   1) $$f(x)=x^2-7x+10$$;
   2) $$f(x)=-x^2+4x$$;
   3) $$f(x)=-3x^3+3x^2+4$$;
   4) $$f(x)=(1-3x)^3$$.

1. $$f(x)=x^2-7x+10$$

   $$f'(x)=2x-7$$

   Найдём, когда производная отрицательна:

   $$2x-7<0$$

   $$2x<7$$

   $$x<3{,}5$$

2. $$f(x)=-x^2+4x$$

   $$f'(x)=-2x+4$$

   $$-2x+4<0$$

   $$-2x<-4$$

   $$x>2$$

3. $$f(x)=-3x^3+3x^2+4$$

   $$f'(x)=-9x^2+6x$$

   $$-9x^2+6x<0$$

   $$3x(3x-2)>0$$

   Произведение положительно, если оба множителя одного знака:

   $$x<0 \quad \text{или} \quad x>\frac{2}{3}$$

4. $$f(x)=(1-3x)^3$$

   $$f'(x)=3(1-3x)^2\cdot(-3)=-9(1-3x)^2$$

   Так как $$(1-3x)^2\ge 0$$, то

   $$-9(1-3x)^2<0$$

   при всех $$x$$, кроме случая $$1-3x=0$$, то есть $$x=\frac13$$.

Ответ

1) $$(-\infty; 3{,}5)$$; 2) $$(2; +\infty)$$; 3) $$(-\infty; 0)\cup\left(\frac23; +\infty\right)$$; 4) $$(-\infty; \frac13)\cup\left(\frac13; +\infty\right)$$.