Упр.171 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Записать формулой функцию $$f(g(x))$$; найти её область определения и множество значений, если:

1. $$f(y)=y^2,\quad y=g(x)=x+1$$;
2. $$f(y)=\lg y,\quad y=g(x)=\sqrt{x}-1$$;
3. $$f(y)=\frac{y+1}{y-2},\quad y=g(x)=\log_2 x$$;
4. $$f(y)=\sqrt{y},\quad y=g(x)=\frac{x+2}{x-3}$$.

1. $$f(y)=y^2,\quad y=g(x)=x+1.$$

   Тогда

   $$f(g(x))=(x+1)^2.$$

   Так как квадрат определён при любых $$x$$, то

   $$D(x)=\mathbb{R},\qquad E(y)=[0;+\infty).$$

2. $$f(y)=\lg y,\quad y=g(x)=\sqrt{x-1}.$$

   Тогда

   $$f(g(x))=\lg\sqrt{x-1}.$$

   Для области определения нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а аргумент логарифма — положительным:

   $$x-1\ge 0,\qquad \sqrt{x-1}>0.$$

   Отсюда

   $$x>1.$$

   Значит,

   $$D(x)=(1;+\infty),\qquad E(y)=\mathbb{R}.$$

3. $$f(y)=\frac{y+1}{y-2},\quad y=g(x)=\log_2 x.$$

   Тогда

   $$f(g(x))=\frac{\log_2 x+1}{\log_2 x-2}.$$

   Область определения:

   $$x>0,\qquad \log_2 x-2\ne 0.$$

   То есть

   $$x>0,\qquad x\ne 4.$$

   Следовательно,

   $$D(x)=(0;4)\cup(4;+\infty).$$

   Найдём множество значений. Пусть

   $$t=\log_2 x,\qquad y=\frac{t+1}{t-2},\qquad t\ne 2.$$

   Выразим $$t$$ через $$y$$:

   $$y(t-2)=t+1,$$

   $$yt-2y=t+1,$$

   $$t(y-1)=2y+1,$$

   $$t=\frac{2y+1}{y-1},\qquad y\ne 1.$$

   При любом $$y\ne 1$$ такое $$t$$ существует, значит

   $$E(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

4. $$f(y)=\sqrt{y},\quad y=g(x)=\frac{x+2}{x-3}.$$

   Тогда

   $$f(g(x))=\sqrt{\frac{x+2}{x-3}}.$$

   Для области определения нужно

   $$\frac{x+2}{x-3}\ge 0,\qquad x\ne 3.$$

   Решая неравенство, получаем

   $$D(x)=(-\infty;-2]\cup(3;+\infty).$$

   Так как подкоренное выражение неотрицательно, то

   $$E(y)=[0;+\infty).$$

Ответ

1. $$f(g(x))=(x+1)^2,\quad D(x)=\mathbb{R},\quad E(y)=[0;+\infty).$$
2. $$f(g(x))=\lg\sqrt{x-1},\quad D(x)=(1;+\infty),\quad E(y)=\mathbb{R}.$$
3. $$f(g(x))=\frac{\log_2 x+1}{\log_2 x-2},\quad D(x)=(0;4)\cup(4;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
4. $$f(g(x))=\sqrt{\frac{x+2}{x-3}},\quad D(x)=(-\infty;-2]\cup(3;+\infty),\quad E(y)=[0;+\infty).$$