Упр.17 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) произведение и частное двух нечётных функций являются чётными функциями;
2) произведение и частное чётной и нечётной функций являются нечётными функциями.

Пусть $$f_1(x)$$ и $$f_2(x)$$ — функции, определённые на симметричной относительно нуля области определения.

1) Если обе функции нечётные, то их произведение и частное — чётные.

Для нечётных функций имеем:

$$f_1(-x)=-f_1(x), \qquad f_2(-x)=-f_2(x).$$

Рассмотрим произведение $$y(x)=f_1(x)\cdot f_2(x)$$:

$$ y(-x)=f_1(-x)\cdot f_2(-x)=(-f_1(x))\cdot(-f_2(x))=f_1(x)\cdot f_2(x)=y(x). $$

Значит, $$y(x)$$ — чётная функция.

Рассмотрим частное $$g(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}$$, где $$f_2(x)\neq 0$$:

$$ g(-x)=\frac{f_1(-x)}{f_2(-x)}=\frac{-f_1(x)}{-f_2(x)}=\frac{f_1(x)}{f_2(x)}=g(x). $$

Следовательно, $$g(x)$$ — чётная функция.

2) Если одна функция чётная, а другая нечётная, то их произведение и частное — нечётные.

Пусть $$f_1(x)$$ — чётная, а $$f_2(x)$$ — нечётная. Тогда

$$f_1(-x)=f_1(x), \qquad f_2(-x)=-f_2(x).$$

Для произведения $$y(x)=f_1(x)\cdot f_2(x)$$ получаем:

$$ y(-x)=f_1(-x)\cdot f_2(-x)=f_1(x)\cdot(-f_2(x))=-f_1(x)\cdot f_2(x)=-y(x). $$

Значит, $$y(x)$$ — нечётная функция.

Для частного $$g(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}$$:

$$ g(-x)=\frac{f_1(-x)}{f_2(-x)}=\frac{f_1(x)}{-f_2(x)}=-\frac{f_1(x)}{f_2(x)}=-g(x). $$

Следовательно, $$g(x)$$ — нечётная функция.

Ответ

Произведение и частное двух нечётных функций являются чётными; произведение и частное чётной и нечётной функций являются нечётными.