Упр.162 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) Используя определение производной, найти f(x).
2) Найти значение f'(x) в точке x = 0,1.

Найдём производную по определению:

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

$$ f(x)=\frac13x^3-\frac12x^2+3x $$

$$ f(x+h)=\frac13(x+h)^3-\frac12(x+h)^2+3(x+h) $$

Тогда

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac13(x+h)^3-\frac12(x+h)^2+3(x+h)-\left(\frac13x^3-\frac12x^2+3x\right)}{h} $$

Раскроем скобки:

$$ \frac13(x+h)^3=\frac13x^3+x^2h+xh^2+\frac13h^3 $$

$$ -\frac12(x+h)^2=-\frac12x^2-xh-\frac12h^2 $$

Подставим:

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac13x^3+x^2h+xh^2+\frac13h^3-\frac12x^2-xh-\frac12h^2+3x+3h-\frac13x^3+\frac12x^2-3x}{h} $$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{x^2h+xh^2+\frac13h^3-xh-\frac12h^2+3h}{h} $$

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\left(x^2+xh+\frac13h^2-x-\frac12h+3\right) $$

Переходим к пределу при $$h\to 0$$:

$$ f'(x)=x^2-x+3 $$

Теперь найдём значение производной в точке $$x=0{,}1$$:

$$ f'(0{,}1)=(0{,}1)^2-0{,}1+3=0{,}01-0{,}1+3=2{,}91 $$

Ответ

$$ f'(x)=x^2-x+3,\quad f'(0{,}1)=2{,}91 $$