Упр.162 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+3x$$.
   1) Используя определение производной, найти $$f(x)$$.
   2) Найти значение $$f'(x)$$ в точке $$x=0{,}1$$.

Найдём производную по определению:

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$$f(x)=\frac13x^3-\frac12x^2+3x$$

$$f(x+h)=\frac13(x+h)^3-\frac12(x+h)^2+3(x+h)$$

Тогда

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac13(x+h)^3-\frac12(x+h)^2+3(x+h)-\left(\frac13x^3-\frac12x^2+3x\right)}{h}$$

Раскроем скобки:

$$\frac13(x+h)^3=\frac13x^3+x^2h+xh^2+\frac13h^3$$

$$-\frac12(x+h)^2=-\frac12x^2-xh-\frac12h^2$$

Подставим:

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac13x^3+x^2h+xh^2+\frac13h^3-\frac12x^2-xh-\frac12h^2+3x+3h-\frac13x^3+\frac12x^2-3x}{h}$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{x^2h+xh^2+\frac13h^3-xh-\frac12h^2+3h}{h}$$

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\left(x^2+xh+\frac13h^2-x-\frac12h+3\right)$$

Переходим к пределу при $$h\to 0$$:

$$f'(x)=x^2-x+3$$

Теперь найдём значение производной в точке $$x=0{,}1$$:

$$f'(0{,}1)=(0{,}1)^2-0{,}1+3=0{,}01-0{,}1+3=2{,}91$$

Ответ

$$f'(x)=x^2-x+3,\quad f'(0{,}1)=2{,}91$$