Упр.16 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Определить, является ли данная функция чётной или нечётной:

1. $$y=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$;
2. $$y=\sqrt{\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}}$$;
3. $$y=\cos^2 x-\frac{x^2}{\sin x}$$;
4. $$y=\frac{x^3+\sin 2x}{\cos x}$$;
5. $$y=x|\sin x|\sin 3x$$;
6. $$y=3\cos x$$;
7. $$y=x^2\sin\frac{1}{x}$$;
8. $$y=\log_3\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$$.

1. $$y=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$

   Область определения: $$1+\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\frac{1-\cos(-x)}{1+\cos(-x)}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=y(x).$$

   Функция чётная.

2. $$y=\frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1+\cos 2x}$$

   Область определения: $$1+\cos 2x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\frac{\sqrt{\sin^2(-x)}}{1+\cos(-2x)}=\frac{\sqrt{\sin^2 x}}{1+\cos 2x}=y(x).$$

   Функция чётная.

3. $$y=\frac{\cos 2x-x^2}{\sin x}$$

   Область определения: $$\sin x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\frac{\cos(-2x)-(-x)^2}{\sin(-x)}=\frac{\cos 2x-x^2}{-\sin x}=-y(x).$$

   Функция нечётная.

4. $$y=\frac{x^3+\sin 2x}{\cos x}$$

   Область определения: $$\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\frac{(-x)^3+\sin(-2x)}{\cos(-x)}=\frac{-x^3-\sin 2x}{\cos x}=-y(x).$$

   Функция нечётная.

5. $$y=x|\sin x|\sin^3 x$$

   Область определения: $$x\in\mathbb R.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=(-x)|\sin(-x)|\sin^3(-x)=-x|\sin x|(-\sin x)^3=x|\sin x|\sin^3 x=y(x).$$

   Функция чётная.

6. $$y=3^{\cos x}$$

   Область определения: $$x\in\mathbb R.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=3^{\cos(-x)}=3^{\cos x}=y(x).$$

   Функция чётная.

7. $$y=x^2\sin\frac{1}{x}$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=(-x)^2\sin\frac{1}{-x}=x^2\sin\left(-\frac{1}{x}\right)=-x^2\sin\frac{1}{x}=-y(x).$$

   Функция нечётная.

8. $$y=\log_3\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$$

   Область определения: $$\frac{1+\sin x}{1-\sin x}>0,$$ откуда $$\sin x\ne \pm 1,$$ то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   Проверим чётность:

   $$y(-x)=\log_3\frac{1+\sin(-x)}{1-\sin(-x)}=\log_3\frac{1-\sin x}{1+\sin x}=-\log_3\frac{1+\sin x}{1-\sin x}=-y(x).$$

   Функция нечётная.

Ответ

1) чётная; 2) чётная; 3) нечётная; 4) нечётная; 5) чётная; 6) чётная; 7) нечётная; 8) нечётная.