Упр.157 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Используя определение производной, найти производную функции:

1. 1) $$f(x)=2x+3$$; 2) $$f(x)=5x-6$$; 3) $$f(x)=-3x^2+2$$; 4) $$f(x)=3x^2+5x$$.

1. $$f(x)=2x+3$$

   $$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(2(x+h)+3)-(2x+3)}{h}$$
   $$=\lim_{h\to 0}\frac{2x+2h+3-2x-3}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2h}{h}=\lim_{h\to 0}2=2.$$

2. $$f(x)=5x-6$$

   $$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(5(x+h)-6)-(5x-6)}{h}$$
   $$=\lim_{h\to 0}\frac{5x+5h-6-5x+6}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{5h}{h}=\lim_{h\to 0}5=5.$$

3. $$f(x)=-3x^2+2$$

   $$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(-3(x+h)^2+2)-(-3x^2+2)}{h}$$
   $$=\lim_{h\to 0}\frac{-3x^2-6xh-3h^2+2+3x^2-2}{h}$$
   $$=\lim_{h\to 0}\frac{-6xh-3h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(-6x-3h)=-6x.$$

4. $$f(x)=3x^2+5x$$

   $$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(3(x+h)^2+5(x+h))-(3x^2+5x)}{h}$$
   $$=\lim_{h\to 0}\frac{3x^2+6xh+3h^2+5x+5h-3x^2-5x}{h}$$
   $$=\lim_{h\to 0}\frac{6xh+3h^2+5h}{h}=\lim_{h\to 0}(6x+3h+5)=6x+5.$$

Ответ

$$1)\ 2;\quad 2)\ 5;\quad 3)\ -6x;\quad 4)\ 6x+5.$$