Упр.155 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) f(x) = система
log2(x+1) при x < -1, b/x2 при x > 1,
a=1;
2) f(x) = система
sinx/2 при x < пи, bx при x > =пи,
a=пи;
3) f(x) = система
1+x/1+x3 при x=/-1,
b при x=-1,
a=-1;
4) f(x) = система
cosx при x < =-0, b(x-1) при x > 0,
a=0.

1. Чтобы функция была непрерывна в точке $$a=1$$, нужно, чтобы левый и правый пределы в этой точке совпадали.

   $$\lim_{x\to 1-}\log_2(x+1)=\log_2 2=1,$$
   $$\lim_{x\to 1+}\frac{b}{x^2}=\frac{b}{1^2}=b.$$

   Следовательно, $$b=1.$$

2. Для непрерывности в точке $$a=\pi$$ приравниваем пределы слева и справа:

   $$\lim_{x\to \pi-}\sin\frac{x}{2}=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$
   $$\lim_{x\to \pi+}bx=b\pi.$$

   Тогда $$b\pi=1,$$ откуда $$b=\frac{1}{\pi}.$$

3. В точке $$a=-1$$ функция должна быть непрерывна, значит

   $$\lim_{x\to -1}\frac{1+x}{1+x^3}=f(-1)=b.$$

   Разложим знаменатель:

   $$1+x^3=(1+x)(1-x+x^2).$$

   Тогда

   $$\lim_{x\to -1}\frac{1+x}{1+x^3} =\lim_{x\to -1}\frac{1}{1-x+x^2} =\frac{1}{1-(-1)+(-1)^2} =\frac{1}{3}.$$

   Значит, $$b=\frac{1}{3}.$$

4. Для непрерывности в точке $$a=0$$:

   $$\lim_{x\to 0-}\cos x=\cos 0=1,$$
   $$\lim_{x\to 0+}b(x-1)=b(0-1)=-b.$$

   Приравниваем:

   $$-b=1,$$

   откуда $$b=-1.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$\frac{1}{\pi}$$; 3) $$\frac{1}{3}$$; 4) $$-1$$.