Упр.155 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Найти число $$b$$, чтобы функция $$f(x)$$ была непрерывна в точке $$a$$, если:
1) $$f(x)=\begin{cases}\log_2(x+1),&x<-1,\\\dfrac{b}{x^2},&x>1,\end{cases}\quad a=1;$$
2) $$f(x)=\begin{cases}\sin x/2,&x<\pi,\\bx,&x\geq\pi,\end{cases}\quad a=\pi;$$
3) $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1+x}{1+x^3},&x\ne-1,\\b,&x=-1,\end{cases}\quad a=-1;$$
4) $$f(x)=\begin{cases}\cos x,&x\leq0,\\b(x-1),&x>0,\end{cases}\quad a=0.$$
Чтобы функция была непрерывна в точке $$a=1$$, нужно, чтобы левый и правый пределы в этой точке совпадали.
$$\lim_{x\to 1-}\log_2(x+1)=\log_2 2=1,$$
$$\lim_{x\to 1+}\frac{b}{x^2}=\frac{b}{1^2}=b.$$Следовательно, $$b=1.$$
Для непрерывности в точке $$a=\pi$$ приравниваем пределы слева и справа:
$$\lim_{x\to \pi-}\sin\frac{x}{2}=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$
$$\lim_{x\to \pi+}bx=b\pi.$$Тогда $$b\pi=1,$$ откуда $$b=\frac{1}{\pi}.$$
В точке $$a=-1$$ функция должна быть непрерывна, значит
$$\lim_{x\to -1}\frac{1+x}{1+x^3}=f(-1)=b.$$
Разложим знаменатель:
$$1+x^3=(1+x)(1-x+x^2).$$
Тогда
$$\lim_{x\to -1}\frac{1+x}{1+x^3} =\lim_{x\to -1}\frac{1}{1-x+x^2} =\frac{1}{1-(-1)+(-1)^2} =\frac{1}{3}.$$
Значит, $$b=\frac{1}{3}.$$
Для непрерывности в точке $$a=0$$:
$$\lim_{x\to 0-}\cos x=\cos 0=1,$$
$$\lim_{x\to 0+}b(x-1)=b(0-1)=-b.$$Приравниваем:
$$-b=1,$$
откуда $$b=-1.$$
Ответ
1) $$1$$; 2) $$\frac{1}{\pi}$$; 3) $$\frac{1}{3}$$; 4) $$-1$$.
