Упр.154 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что функция $$f(x)$$ непрерывна в точке $$a$$, если:

1) $$f(x)=\begin{cases}1-x^2, & x<2,\\3x-9, & x\geqslant 2,\end{cases}\quad a=2;$$

2) $$f(x)=\begin{cases}|\cos x|, & x<\pi,\\(x-\pi)^2+1, & x\geqslant\pi,\end{cases}\quad a=\pi.$$

1. При $$x<2$$ имеем $$f(x)=1-x^2$$, поэтому

   $$\lim_{x\to 2-}(1-x^2)=1-2^2=1-4=-3.$$

   При $$x\ge 2$$ имеем $$f(x)=3x-9$$, значит

   $$\lim_{x\to 2+}(3x-9)=3\cdot 2-9=6-9=-3.$$

   Так как

   $$\lim_{x\to 2-}f(x)=\lim_{x\to 2+}f(x)=-3,$$

   то функция непрерывна в точке $$a=2$$.

2. При $$x<\pi$$ имеем $$f(x)=|\cos x|$$, поэтому

   $$\lim_{x\to \pi-}|\cos x|=|\cos \pi|=|-1|=1.$$

   При $$x\ge \pi$$ имеем $$f(x)=(x-\pi)^2+1$$, значит

   $$\lim_{x\to \pi+}\bigl((x-\pi)^2+1\bigr)=0+1=1.$$

   Следовательно,

   $$\lim_{x\to \pi-}f(x)=\lim_{x\to \pi+}f(x)=1,$$

   и функция непрерывна в точке $$a=\pi$$.

Ответ

1) Функция непрерывна в точке $$a=2$$. 2) Функция непрерывна в точке $$a=\pi$$.